(0,4 ponto)
Um sistema de vácuo caro pode atingir uma pressão tão baixa quanto 1,00 \mathrm{x} 10^{-7} \mathrm{~Pa} a 20^{\circ} \mathrm{C}. Quantos átomos existem em um centímetro cúbico a essa pressão e temperatura?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo é informação do problema):
  • Pressão: p = 1,00\times10^{-7}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Volume considerado: 1\\ \mathrm{cm}^3 (queremos o número de átomos dentro desse volume).
    O que o problema pede: determinar quantos átomos existem em 1\\ \mathrm{cm}^3 quando a pressão e a temperatura são as dadas.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar: para um gás rarefeito podemos usar a forma microscópica da equação dos gases ideais,
pV = N k_B T,
onde:
  • p é a pressão (em \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m}^3),
  • N é o número de partículas (átomos) no volume V — é o que queremos,
  • k_B é a constante de Boltzmann, com valor k_B = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
    Explicando a fórmula em palavras: cada partícula contribui com energia térmica proporcional a k_B T; a pressão vezes o volume total mede a energia térmica total disponível, então dividindo pV por k_B T obtemos o número de partículas.

Passo 3

Conversões de unidades (passo obrigatório para não errar):
  • Converter temperatura para kelvin:
20^\circ\mathrm{C} = 273,15 + 20 = 293,15\\ \mathrm{K}.
  • Converter volume para o SI ( \mathrm{m}^3):
1\\ \mathrm{cm}^3 = (1\times10^{-2}\\ \mathrm{m})^3 = 1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Calcular o produto k_B T (vai aparecer no denominador da expressão de N):
k_B T = \left(1,380649\times10^{-23}\right)\times293,15.
Fazendo a multiplicação (mostrando o raciocínio com notação científica):
k_B T \approx 4,04737\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Observação de unidades: \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3 tem a mesma unidade de energia ( \mathrm{J}), portanto pV e k_B T são compatíveis para divisão.

Passo 5

Calcular pV (numerador) e depois N:
pV = \left(1,00\times10^{-7}\right)\times\left(1,00\times10^{-6}\right) = 1,00\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.
Agora usar N = \dfrac{pV}{k_B T}:
N = \frac{1,00\times10^{-13}}{4,04737\times10^{-21}}.
Dividindo coeficientes e tratando as potências de dez:
N \approx \left(\frac{1,00}{4,04737}\right)\times10^{8} \approx 2,47\times10^{7}.
Portanto, o cálculo direto dá aproximadamente 2,47\times10^{7} átomos dentro de 1\\ \mathrm{cm}^3 sob essas condições. (Dica amiga: isso é muito pequeno em comparação com o ar ambiente, que tem algo como 10^{19} partículas por \mathrm{cm}^3.)

Resposta

2,47\times10^{7}\\ \text{átomos}á

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