2- Um feixe de luz monocromática é enviado em um interferômetro de Michelson. Quando um dos espelhos é deslocado de 0,382 \mathrm{~mm} o padrão de interferência alterna 1700 vezes. (a) Determine o comprimento de onda da luz incidente. (b) Um tubo transparente de comprimento L=5,0 ~ c m é colocado é um dos braços do interferômetro. Enquanto o tubo é preenchido com um gás, observa-se o deslocamento de 2533 franjas. Qual é o índice de refração desse gás ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Um espelho do interferômetro é deslocado de d=0{,}382\\ \mathrm{mm}.
  • Ao deslocar esse espelho observa-se a alternância de N_1=1700 franjas.
  • Depois é inserido um tubo transparente de comprimento L=5{,}0\\ \mathrm{cm} em um dos braços; ao enchê-lo com um gás observa-se um deslocamento de N_2=2533 franjas.
  • Perguntas:
    (a) determinar o comprimento de onda da luz incidente \lambda;
    (b) determinar o índice de refração n do gás (assume-se que o tubo estava inicialmente evacuado, isto é índice inicial n_0=1; ao encher com o gás o índice passa a n).

Passo 2

Entendendo o que acontece ao mover um espelho (aula rápida e intuitiva).
  • Em um interferômetro de Michelson a diferença de caminho óptico entre os dois braços determina o padrão de franjas. Quando um espelho é movido uma distância d, a luz percorre essa distância duas vezes (ida e volta), portanto a diferença de caminho físico entre os braços muda em 2d.
  • Cada vez que a diferença de caminho varia de uma quantidade igual a uma onda inteira \lambda, as franjas avançam uma unidade (aparece/ some uma franja). Por isso o número de franjas movimentadas N está ligado à mudança total de caminho por
N=\frac{\text{mudança do caminho óptico}}{\lambda}.çó
  • Aplicando ao movimento do espelho:
N_1=\frac{2d}{\lambda}.
Aqui:
  • N_1 é o número de franjas observadas ao mover o espelho;
  • d é a distância que o espelho foi deslocado (em metros);
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (em metros).

Passo 3

Calcular \lambda a partir de N_1=\dfrac{2d}{\lambda}.
  • Primeiro converto d para metros:
d=0{,}382\\ \mathrm{mm}=0{,}382\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=3{,}82\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Isolando \lambda na fórmula:
\lambda=\frac{2d}{N_1}.
  • Substituindo os valores:
\lambda=\frac{2\cdot 3{,}82\times10^{-4}}{1700}.
  • Faço as contas passo a passo:
    • 2\cdot 3{,}82\times10^{-4}=7{,}64\times10^{-4}.
    • Dividindo por 1700: \lambda=\dfrac{7{,}64\times10^{-4}}{1700}=4{,}494117647\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades mais usuais:
\lambda\approx 4{,}49\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=449\\ \mathrm{nm}.
(ou seja a luz é visível, em torno de 449 nm).

Passo 4

Entendendo a segunda parte: como o índice de refração provoca deslocamento de franjas.
  • Definição rápida: o índice de refração n de um meio diz que, quando a luz percorre um trecho físico de comprimento L nesse meio, o comprimento óptico efetivo desse trecho é nL. Em vácuo ou ar ideal com índice 1, o comprimento óptico é 1\cdot L.
  • Se um tubo de comprimento L é colocado em um braço do interferômetro e o índice muda de n_0 (inicial) para n (final), a mudança do caminho óptico naquele trecho, contando ida e volta, é
\Delta(\text{caminho óptico})=2L(n-n_0).ó
  • Cada franja corresponde a mudança de caminho óptico igual a \lambda. Logo o número de franjas deslocadas N_2 ao mudar o índice vale
N_2=\frac{2L(n-n_0)}{\lambda}.
  • No nosso caso assumimos n_0=1 (tubo inicialmente evacuado), portanto
N_2=\frac{2L(n-1)}{\lambda}.
  • Dessas expressões podemos isolar n:
n=1+\frac{N_2\,\lambda}{2L}.
Aqui:
  • N_2 é o número de franjas observadas quando o tubo é preenchido;
  • L é o comprimento do tubo (em metros);
  • \lambda o comprimento de onda encontrado na parte (a).

Passo 5

Calcular n usando os valores numéricos.
  • Converto L para metros:
L=5{,}0\\ \mathrm{cm}=5{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Já tenho \lambda=4{,}494117647\times10^{-7}\\ \mathrm{m} e N_2=2533. Substituo em
n=1+\frac{N_2\,\lambda}{2L}.
  • Faço as contas:
    • Primeiro o numerador: N_2\,\lambda=2533\times 4{,}494117647\times10^{-7}\approx 1{,}1383985\times10^{-3}.
    • Denominador: 2L=2\times0{,}05=0{,}10.
    • Dividindo: \dfrac{1{,}1383985\times10^{-3}}{0{,}10}=0{,}011383985.
  • Assim
n=1+0{,}011383985\approx 1{,}01138.
  • Arredondando de forma razoável (dados com 3 algarismos significativos), podemos reportar
n\approx 1{,}0114.

Resposta

\lambda \approx 4{,}49\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\\ (449\\ \mathrm{nm})
n \approx 1{,}0114

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