Uma superfície gaussiana esférica rodeia uma carga pontual q. Descreva o que acontece com o fluxo total através da superfície, se:
a carga é triplicada

Passo 1

O enunciado dá uma superfície gaussiana esférica que envolve uma carga pontual q. A pergunta é: o que acontece com o fluxo elétrico total através dessa superfície se a carga for triplicada (ou seja, q passa a 3q)?
Informações relevantes fornecidas:
  • Há uma carga pontual inicialmente igual a q situada no interior de uma superfície fechada esférica.
  • A superfície é fechada (esfera) e envolve totalmente a carga.
  • A operação pedida: triplicar a carga para 3q e descrever o efeito sobre o fluxo total através da superfície.

Passo 2

O que é fluxo elétrico e como se calcula (conceito básico, sem pular etapas).
Definição local: o fluxo elétrico infinitesimal através de uma pequena área é dado por
\mathrm{d}\Phi = \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície (vetor).
  • \mathrm{d}\mathbf{A} é o vetor área infinitesimal: sua magnitude é a área pequena \mathrm{d}A e sua direção é normal à superfície, apontando para fora (orientação da superfície fechada).
  • O produto escalar \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}=E\cos\theta\,\mathrm{d}A mede apenas a componente do campo que atravessa a superfície.
O fluxo total através de toda a superfície fechada é a integral de superfície
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A},
onde o símbolo \oint indica integração sobre toda a superfície fechada.

Passo 3

Campo elétrico de uma carga pontual — fórmula e significado das variáveis.
Para uma carga pontual q localizada no centro da esfera (ou simplesmente no interior), o campo elétrico em uma distância r da carga tem a forma
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante física).
  • r é a distância radial do ponto ao centro da carga.
  • \hat{\mathbf{r}} é o vetor unitário na direção radial (apontando para fora).
  • A magnitude do campo é E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}.
Observação importante: sobre uma esfera de raio R centrada na carga, o valor de r é constante e igual a R, logo a magnitude de \mathbf{E} é a mesma em toda a superfície esférica.

Passo 4

Cálculo do fluxo total através da esfera passo a passo (desenvolvimento das contas).
Como \mathbf{E} é radial e \mathrm{d}\mathbf{A} também é radial (aponta para fora), o ângulo entre eles é zero e \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}=E\,\mathrm{d}A. Para uma esfera de raio R temos a área total
A_{\text{esfera}}=4\pi R^2.
Então o fluxo total é
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}=E(R)\cdot 4\pi R^2.
Substituindo E(R)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{R^2} obtemos
\Phi=\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R^2}\right)\cdot 4\pi R^2=\frac{q}{\varepsilon_0}.
Perceba como os fatores 4\pi e R^2 se cancelam, deixando um resultado que depende somente da carga q e da constante \varepsilon_0, e não do raio R.

Passo 5

Interpretação física e efeito de triplicar a carga.
A expressão obtida mostra que o fluxo total através de qualquer superfície fechada que envolva a carga pontual depende apenas da carga total dentro da superfície:
\Phi=\frac{q_{\text{interno}}}{\varepsilon_0}.
Portanto, se a carga for triplicada, q\to 3q, o fluxo associado torna-se
\Phi'=\frac{3q}{\varepsilon_0}=3\cdot\frac{q}{\varepsilon_0}=3\Phi.
Em palavras: o fluxo total através da superfície também é triplicado. Isso acontece porque o campo elétrico gerado por uma carga pontual é linear em q, e o fluxo é proporcional ao campo integrado; então duplicar ou triplicar a carga multiplica o fluxo pela mesma razão.
Um exemplo numérico rápido (só para fixar): se inicialmente \Phi=\dfrac{q}{\varepsilon_0}=1 (em unidades arbitrárias), ao triplicar a carga o novo fluxo será \Phi'=3.

Passo 6

Observações finais, dicas para prova e intuição rápida.
  • Regra prática para a prova: sempre que uma superfície fechada envolver totalmente uma carga puntiforme, o fluxo total vale \dfrac{\text{carga encerrada}}{\varepsilon_0}. Então qualquer mudança proporcional na carga (dobrar, triplicar, mudar de sinal) causa a mesma mudança proporcional no fluxo.
  • Se a carga estivesse fora da superfície fechada, o fluxo total seria zero (essa é outra propriedade útil para lembrar).
  • Intuição: o fluxo conta “linhas de campo” que atravessam a superfície; triplicando a carga, triplicam-se as linhas de campo emitidas, logo triplica-se o número que atravessa a superfície.

Resposta

O fluxo total é triplicado: passa de \dfrac{q}{\varepsilon_0} para \dfrac{3q}{\varepsilon_0}, ou seja \Phi' = 3\Phi.

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