Uma superfície gaussiana esférica rodeia uma carga pontual
. Descreva o que acontece com o fluxo total através da superfície, se:
a carga é triplicada
a carga é triplicada
Passo 1
O enunciado dá uma superfície gaussiana esférica que envolve uma carga pontual
. A pergunta é: o que acontece com o fluxo elétrico total através dessa superfície se a carga for triplicada (ou seja,
passa a
)?
Informações relevantes fornecidas:
- Há uma carga pontual inicialmente igual a
situada no interior de uma superfície fechada esférica. - A superfície é fechada (esfera) e envolve totalmente a carga.
- A operação pedida: triplicar a carga para
e descrever o efeito sobre o fluxo total através da superfície.
Passo 2
O que é fluxo elétrico e como se calcula (conceito básico, sem pular etapas).
Definição local: o fluxo elétrico infinitesimal através de uma pequena área é dado por
onde:
-
é o campo elétrico no ponto da superfície (vetor). -
é o vetor área infinitesimal: sua magnitude é a área pequena e sua direção é normal à superfície, apontando para fora (orientação da superfície fechada). - O produto escalar
mede apenas a componente do campo que atravessa a superfície.
O fluxo total através de toda a superfície fechada é a integral de superfície
onde o símbolo
indica integração sobre toda a superfície fechada.
Passo 3
Campo elétrico de uma carga pontual — fórmula e significado das variáveis.
Para uma carga pontual
localizada no centro da esfera (ou simplesmente no interior), o campo elétrico em uma distância
da carga tem a forma
onde:
-
é a permissividade do vácuo (constante física). -
é a distância radial do ponto ao centro da carga. -
é o vetor unitário na direção radial (apontando para fora). - A magnitude do campo é
.
Observação importante: sobre uma esfera de raio
centrada na carga, o valor de
é constante e igual a
, logo a magnitude de
é a mesma em toda a superfície esférica.
Passo 4
Cálculo do fluxo total através da esfera passo a passo (desenvolvimento das contas).
Como
é radial e
também é radial (aponta para fora), o ângulo entre eles é zero e
. Para uma esfera de raio
temos a área total
Então o fluxo total é
Substituindo
obtemos
Perceba como os fatores
e
se cancelam, deixando um resultado que depende somente da carga
e da constante
, e não do raio
.
Passo 5
Interpretação física e efeito de triplicar a carga.
A expressão obtida mostra que o fluxo total através de qualquer superfície fechada que envolva a carga pontual depende apenas da carga total dentro da superfície:
Portanto, se a carga for triplicada,
, o fluxo associado torna-se
Em palavras: o fluxo total através da superfície também é triplicado. Isso acontece porque o campo elétrico gerado por uma carga pontual é linear em
, e o fluxo é proporcional ao campo integrado; então duplicar ou triplicar a carga multiplica o fluxo pela mesma razão.
Um exemplo numérico rápido (só para fixar): se inicialmente
(em unidades arbitrárias), ao triplicar a carga o novo fluxo será
.
Passo 6
Observações finais, dicas para prova e intuição rápida.
- Regra prática para a prova: sempre que uma superfície fechada envolver totalmente uma carga puntiforme, o fluxo total vale
. Então qualquer mudança proporcional na carga (dobrar, triplicar, mudar de sinal) causa a mesma mudança proporcional no fluxo. - Se a carga estivesse fora da superfície fechada, o fluxo total seria zero (essa é outra propriedade útil para lembrar).
- Intuição: o fluxo conta “linhas de campo” que atravessam a superfície; triplicando a carga, triplicam-se as linhas de campo emitidas, logo triplica-se o número que atravessa a superfície.
Resposta
O fluxo total é triplicado: passa de
para
, ou seja
.