(1 ponto) Suponha que para cada cliente que solicita o cancelamento do seu cartão, a companhia responsável efetivamente realize o cancelamento do cartāo do cliente com probabilidade 0.96 . Se 98 clientes solicitam o cancelamento, qual a probabilidade de que a companhia cancele o cartăo de exatamente 95 clientes?
(a) 0.1900
(b) 0.9694
(c) 0.7800
(d) 0.0000
(e) 0.2014

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que exatamente 95 clientes tenham o cartão cancelado, dado que 98 clientes solicitam o cancelamento.
Informações fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Número de clientes (n)} = 98,\\\ &\text{Número desejado de cancelamentos (k)} = 95,\\\ &\text{Probabilidade de cancelamento por cliente (}p\text{)} = 0{,}96,\\\ &\text{Probabilidade de não cancelar por cliente (}1-p\text{)} = 0{,}04. \end{aligned}úúã

Passo 2

Modelo e fórmula (explicação didática):
Quando temos várias tentativas independentes com duas alternativas (sucesso = cancelar, falha = não cancelar) e queremos a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas, usamos a fórmula combinatória abaixo.
A fórmula da probabilidade é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada parte:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras diferentes de escolher quais k entre os n clientes obtêm sucesso (isso conta as combinações). A definição é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
  • p^{k} é a probabilidade de que exatamente esses k clientes dêem sucesso (cada um com probabilidade p).
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade de que os outros n-k falhem.
Essa fórmula multiplica o número de configurações pela probabilidade de cada configuração.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema:
P(X=95)=\binom{98}{95}\,(0{,}96)^{95}\,(0{,}04)^{3}.
Observação útil: \binom{98}{95}=\binom{98}{3} (porque escolher 95 para serem cancelados é o mesmo que escolher 3 para não serem cancelados). Isso facilita o cálculo.
Calculemos o coeficiente combinatório:
\binom{98}{3}=\frac{98\cdot97\cdot96}{3\cdot2\cdot1}=\frac{98\cdot97\cdot96}{6}.
Vamos calcular passo a passo:
98\cdot97=9506,
9506\cdot96=912576,
\frac{912576}{6}=152096.
Portanto,
\binom{98}{95}=152096.

Passo 4

Calculemos (0{,}04)^{3} e já multipliquemos pelo coeficiente:
(0{,}04)^{3}=0{,}04\cdot0{,}04\cdot0{,}04=0{,}000064.
Multiplicando pelo coeficiente:
152096\cdot0{,}000064=152096\cdot64\times10^{-6}=\;9{,}734144.
Assim a probabilidade fica
P(X=95)=9{,}734144\cdot(0{,}96)^{95}.

Passo 5

Cálculo de (0{,}96)^{95} — estratégia prática:
Como elevar 0{,}96 à 95ª potência diretamente é incômodo, usamos logaritmos naturais para calcular de forma estável:
\ln\big((0{,}96)^{95}\big)=95\ln(0{,}96).
Valores aproximados (explico como obter/usar esses valores):
\ln(0{,}96)\approx -0{,}0408219955,
então
95\ln(0{,}96)\approx 95\cdot(-0{,}0408219955)\approx -3{,}878089574.
Portanto
(0{,}96)^{95}=\exp\big(95\ln(0{,}96)\big)\approx e^{-3{,}878089574}\approx 0{,}02074\\ (\text{aprox.}).
Agora multiplicamos:
P(X=95)\approx 9{,}734144\cdot0{,}02074\approx 0{,}2014.
Se preferir ver por soma de logaritmos (mais preciso): calculemos \ln P diretamente
\ln P=\ln(152096)+95\ln(0{,}96)+3\ln(0{,}04).
Usando aproximações
\ln(152096)\approx 11{,}932025,\quad 95\ln(0{,}96)\approx -3{,}8780896,\quad 3\ln(0{,}04)\approx -9{,}6566275,
soma
\ln P\approx 11{,}932025-3{,}8780896-9{,}6566275\approx -1{,}6026921,
e então
P\approx e^{-1{,}6026921}\approx 0{,}2014.
Arredondando para quatro casas decimais obtemos 0{,}2014.

Passo 6

Interpretação final: a probabilidade de exatamente 95 cancelamentos, entre 98 solicitações com probabilidade individual 0{,}96, é aproximadamente 0{,}2014. Isso corresponde à alternativa (e). Força aí — você tem condições de aplicar esse raciocínio na prova: montar a fórmula binomial, calcular o coeficiente combinatório reduzindo para uma multiplicação curta e usar logs quando a potência for grande.

Resposta

(e) 0{,}2014

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