(1 ponto) Suponha que para cada cliente que solicita o cancelamento do seu cartão, a companhia responsável efetivamente realize o cancelamento do cartāo do cliente com probabilidade 0.96 . Se 98 clientes solicitam o cancelamento, qual a probabilidade de que a companhia cancele o cartăo de exatamente 95 clientes?
(a) 0.1900
(b) 0.9694
(c) 0.7800
(d) 0.0000
(e) 0.2014
(a) 0.1900
(b) 0.9694
(c) 0.7800
(d) 0.0000
(e) 0.2014
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que exatamente 95 clientes tenham o cartão cancelado, dado que 98 clientes solicitam o cancelamento.
Informações fornecidas:
Passo 2
Modelo e fórmula (explicação didática):
Quando temos várias tentativas independentes com duas alternativas (sucesso = cancelar, falha = não cancelar) e queremos a probabilidade de exatamente sucessos em
tentativas, usamos a fórmula combinatória abaixo.
Quando temos várias tentativas independentes com duas alternativas (sucesso = cancelar, falha = não cancelar) e queremos a probabilidade de exatamente
A fórmula da probabilidade é
Explicando cada parte:
-
é o número de maneiras diferentes de escolher quais entre os clientes obtêm sucesso (isso conta as combinações). A definição é
onde
(fatorial) é o produto
.
-
é a probabilidade de que exatamente esses clientes dêem sucesso (cada um com probabilidade ). -
é a probabilidade de que os outros falhem.
Essa fórmula multiplica o número de configurações pela probabilidade de cada configuração.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao problema:
Observação útil:
(porque escolher 95 para serem cancelados é o mesmo que escolher 3 para não serem cancelados). Isso facilita o cálculo.
Calculemos o coeficiente combinatório:
Vamos calcular passo a passo:
Portanto,
Passo 4
Calculemos
e já multipliquemos pelo coeficiente:
Multiplicando pelo coeficiente:
Assim a probabilidade fica
Passo 5
Cálculo de
— estratégia prática:
Como elevar à 95ª potência diretamente é incômodo, usamos logaritmos naturais para calcular de forma estável:
Como elevar
Valores aproximados (explico como obter/usar esses valores):
então
Portanto
Agora multiplicamos:
Se preferir ver por soma de logaritmos (mais preciso): calculemos
diretamente
Usando aproximações
soma
e então
Arredondando para quatro casas decimais obtemos
.
Passo 6
Interpretação final: a probabilidade de exatamente 95 cancelamentos, entre 98 solicitações com probabilidade individual
, é aproximadamente
. Isso corresponde à alternativa (e). Força aí — você tem condições de aplicar esse raciocínio na prova: montar a fórmula binomial, calcular o coeficiente combinatório reduzindo para uma multiplicação curta e usar logs quando a potência for grande.
Resposta
(e)