(1 ponto) Em uma clínica onde são realizados testes para rastreamento do câncer de próstata em homens,
dos resultados são negativos. Dos pacientes com resultado positivo,
são de fato doentes e dos pacientes com resultado negativo,
não são doentes. Qual a probabilidade de um paciente da clínica ter câncer?
(a) 0.869
(b) 0.908
(c) 0.089
(d) 0.050
(e) 0.048
(a) 0.869
(b) 0.908
(c) 0.089
(d) 0.050
(e) 0.048
Passo 1
O que o problema pede: qual a probabilidade de um paciente da clínica ter câncer (ou seja,
).
Informações dadas (vou escrever cada número em forma decimal para facilitar as contas):
.
Logo,
.
Probabilidades condicionais fornecidas:
.
Resumo das quantidades que vamos usar:
Passo 2
Qual a ideia para calcular
?
Quando temos uma partição do espaço (aqui: teste positivo ou teste negativo), usamos a Lei da Probabilidade Total. Ela diz que, se é uma partição, então
Quando temos uma partição do espaço (aqui: teste positivo ou teste negativo), usamos a Lei da Probabilidade Total. Ela diz que, se
Aqui podemos tomar
e a partição por
,
. Explicando: a probabilidade de ser doente é a soma das probabilidades de ser doente e ter teste positivo mais ser doente e ter teste negativo; cada uma dessas probabilidades é um produto de probabilidade condicional por probabilidade do evento da partição.
Portanto a fórmula que vamos usar é
Passo 3
Agora substituímos os números que listamos no Passo 1 na fórmula do Passo 2:
Vou calcular cada termo separadamente, mostrando passo a passo como multiplicar decimais (truque: multiplicar como inteiros e depois colocar a vírgula no lugar certo).
Cálculo do primeiro termo:
Cálculo do segundo termo:
Passo 4
Somamos os dois termos para obter
:
Se a prova pede aproximação com três casas decimais, arredondamos
para
(pois a quarta casa é
, então arredonda para cima).
Passo 5
Agora relacionando com as alternativas do enunciado, a alternativa que corresponde a
é a letra (c). Vai dar tudo certo — revisando: usamos a Lei da Probabilidade Total e multiplicações simples de decimais; é um procedimento que costuma cair muito em provas.
Resposta
(c)