(1 ponto) Em uma clínica onde são realizados testes para rastreamento do câncer de próstata em homens, 91 \% dos resultados são negativos. Dos pacientes com resultado positivo, 48 \% são de fato doentes e dos pacientes com resultado negativo, 95 \% não são doentes. Qual a probabilidade de um paciente da clínica ter câncer?
(a) 0.869
(b) 0.908
(c) 0.089
(d) 0.050
(e) 0.048

Passo 1

O que o problema pede: qual a probabilidade de um paciente da clínica ter câncer (ou seja, P(\text{doente})).
Informações dadas (vou escrever cada número em forma decimal para facilitar as contas):
P(\text{teste negativo}) = 0{,}91.
Logo, P(\text{teste positivo}) = 1 - 0{,}91 = 0{,}09.
Probabilidades condicionais fornecidas:
P(\text{doente} \mid \text{teste positivo}) = 0{,}48.
P(\text{não doente} \mid \text{teste negativo}) = 0{,}95ã, portanto
P(\text{doente} \mid \text{teste negativo}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05.
Resumo das quantidades que vamos usar:
P(\text{teste positivo})=0{,}09,\quad P(\text{teste negativo})=0{,}91,
P(\text{doente}\mid\text{teste positivo})=0{,}48,\quad P(\text{doente}\mid\text{teste negativo})=0{,}05.

Passo 2

Qual a ideia para calcular P(\text{doente})?
Quando temos uma partição do espaço (aqui: teste positivo ou teste negativo), usamos a Lei da Probabilidade Total. Ela diz que, se \{B, B^c\} é uma partição, então
P(A)=P(A\mid B)P(B)+P(A\mid B^c)P(B^c).
Aqui podemos tomar A=\{\text{doente}\} e a partição por B=\{\text{teste positivo}\}, B^c=\{\text{teste negativo}\}. Explicando: a probabilidade de ser doente é a soma das probabilidades de ser doente e ter teste positivo mais ser doente e ter teste negativo; cada uma dessas probabilidades é um produto de probabilidade condicional por probabilidade do evento da partição.
Portanto a fórmula que vamos usar é
P(\text{doente})=P(\text{doente}\mid\text{teste positivo})\cdot P(\text{teste positivo}) +P(\text{doente}\mid\text{teste negativo})\cdot P(\text{teste negativo}).

Passo 3

Agora substituímos os números que listamos no Passo 1 na fórmula do Passo 2:
P(\text{doente})=0{,}48\cdot 0{,}09 + 0{,}05\cdot 0{,}91.
Vou calcular cada termo separadamente, mostrando passo a passo como multiplicar decimais (truque: multiplicar como inteiros e depois colocar a vírgula no lugar certo).
Cálculo do primeiro termo:
0{,}48\cdot 0{,}09 = \frac{48}{100}\cdot\frac{9}{100}=\frac{48\cdot 9}{10000}=\frac{432}{10000}=0{,}0432.
Cálculo do segundo termo:
0{,}05\cdot 0{,}91 = \frac{5}{100}\cdot\frac{91}{100}=\frac{5\cdot 91}{10000}=\frac{455}{10000}=0{,}0455.

Passo 4

Somamos os dois termos para obter P(\text{doente}):
P(\text{doente})=0{,}0432+0{,}0455=0{,}0887.
Se a prova pede aproximação com três casas decimais, arredondamos 0{,}0887 para 0{,}089 (pois a quarta casa é 7, então arredonda para cima).

Passo 5

Agora relacionando com as alternativas do enunciado, a alternativa que corresponde a 0{,}089 é a letra (c). Vai dar tudo certo — revisando: usamos a Lei da Probabilidade Total e multiplicações simples de decimais; é um procedimento que costuma cair muito em provas.

Resposta

(c) 0{,}089

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