( 1 ponto) Dentre 3 números positivos e 7 negativos, dois números são escolhidos ao acaso (sem reposição) e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo?
(a) 0.436
(b) 0.273
(c) 0.727
(d) 0.300
(e) 0.533

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Existem 3 números positivos e 7 números negativos.
  • Dois números são escolhidos ao acaso sem reposição (ou seja, não voltam ao conjunto depois de escolhidos).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que o produto dos dois números escolhidos seja positivo?
Informações relevantes listadas:
  • Total de elementos: 3+7=10.
  • A seleção é de 2 elementos sem reposição.
  • Produto positivo ocorre quando os sinais dos dois números são iguais, isto é, ou ambos positivos ou ambos negativos.

Passo 2

Vamos contar o número total de pares possíveis (espaço amostral). Usamos a combinação para escolher 2 elementos entre 10.
A combinação é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! significa fatorial (produto dos inteiros positivos até n). Aqui:
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45.
Explicando passo a passo: ao calcular \binom{10}{2} podemos simplificar \frac{10\cdot9\cdot8!}{2\cdot1\cdot8!}=\frac{10\cdot9}{2}=45. Então existem 45 pares possíveis igualmente prováveis.

Passo 3

Agora contamos os casos favoráveis (produto positivo). São dois tipos de casos:
  1. Ambos positivos: escolher 2 entre os 3 positivos.
\binom{3}{2}=\frac{3\cdot2}{2}=3.
Interpretação: há 3 pares distintos formados só por positivos.
  1. Ambos negativos: escolher 2 entre os 7 negativos.
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21.
Interpretação: há 21 pares distintos formados só por negativos.
Somando os favoráveis:
\text{favoráveis}=3+21=24.á

Passo 4

A probabilidade pedida é razão entre casos favoráveis e total de casos:
P=\frac{24}{45}.
Simplificamos dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{24}{45}=\frac{8}{15}.
Como decimal, isso vale
\frac{8}{15}=0,533\overline{3},
ou seja, 0,533 (com repetição do 3).

Passo 5

Verificação alternativa (método multiplicativo sequencial) — só para confirmar e aprender outra técnica:
  • Probabilidade de os dois serem positivos, calculando em sequência:
P(\text{pos,pos})=\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}.
  • Probabilidade de os dois serem negativos:
P(\text{neg,neg})=\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}.
Somando:
P=\frac{1}{15}+\frac{7}{15}=\frac{8}{15},
mesmo resultado, ótimo para checar.

Passo 6

Resumo final: a probabilidade de o produto ser positivo é \dfrac{8}{15}, que equivale a 0,533\overline{3}. Vai dar tudo certo na prova — você já consegue aplicar duas formas diferentes para resolver esse tipo de questão!

Resposta

(e) 0,533

Exercícios relacionados