( 1 ponto) Dentre 3 números positivos e 7 negativos, dois números são escolhidos ao acaso (sem reposição) e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo?
(a) 0.436
(b) 0.273
(c) 0.727
(d) 0.300
(e) 0.533
(a) 0.436
(b) 0.273
(c) 0.727
(d) 0.300
(e) 0.533
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Existem
números positivos e números negativos. - Dois números são escolhidos ao acaso sem reposição (ou seja, não voltam ao conjunto depois de escolhidos).
- Pergunta: qual a probabilidade de que o produto dos dois números escolhidos seja positivo?
Informações relevantes listadas:
- Total de elementos:
. - A seleção é de
elementos sem reposição. - Produto positivo ocorre quando os sinais dos dois números são iguais, isto é, ou ambos positivos ou ambos negativos.
Passo 2
Vamos contar o número total de pares possíveis (espaço amostral). Usamos a combinação para escolher
elementos entre
.
A combinação é dada por
onde
significa fatorial (produto dos inteiros positivos até
). Aqui:
Explicando passo a passo: ao calcular
podemos simplificar
. Então existem
pares possíveis igualmente prováveis.
Passo 3
Agora contamos os casos favoráveis (produto positivo). São dois tipos de casos:
- Ambos positivos: escolher
entre os positivos.
Interpretação: há
pares distintos formados só por positivos.
- Ambos negativos: escolher
entre os negativos.
Interpretação: há
pares distintos formados só por negativos.
Somando os favoráveis:
Passo 4
A probabilidade pedida é razão entre casos favoráveis e total de casos:
Simplificamos dividindo numerador e denominador por
:
Como decimal, isso vale
ou seja,
(com repetição do
).
Passo 5
Verificação alternativa (método multiplicativo sequencial) — só para confirmar e aprender outra técnica:
- Probabilidade de os dois serem positivos, calculando em sequência:
- Probabilidade de os dois serem negativos:
Somando:
mesmo resultado, ótimo para checar.
Passo 6
Resumo final: a probabilidade de o produto ser positivo é
, que equivale a
. Vai dar tudo certo na prova — você já consegue aplicar duas formas diferentes para resolver esse tipo de questão!
Resposta
(e)