(1 ponto) Suponha que a probabilidade de que um surfista profissional receba uma nota superior a 9.5 em uma onda seja 0.76 , e que cada onda surfada seja independente. Considere que o surfista continue na na bateria de ondas até que tire uma nota inferior a 9.5. Qual é a probabilidade de que na sua 5^{\circ} \mathrm{O} \mathrm{l} na 2^{\prime} onda ele tire sua primeira nota inferior a 9.5?
(a) 0.139
(b) 0.199
(c) 0.061
(d) 0.277
(e) 0.122

Passo 1

Dados do enunciado:
  • A probabilidade de o surfista receber nota superior a 9{,}5 em uma onda é \,0{,}76.
  • Cada onda é independente das outras.
  • O surfista continua surfando até tirar uma nota inferior a 9{,}5.
    Pergunta (interpretada aqui): qual é a probabilidade de que a primeira nota inferior a 9{,}5 ocorra na terceira onda? (Vou usar essa interpretação porque a resposta numérica a seguir corresponde a uma ocorrência na terceira onda — se o enunciado pretendia outro índice, o método abaixo indica como calcular para qualquer onda.)

Passo 2

Modelagem do problema (ideia básica, sem termos técnicos primeiro): para que a primeira nota inferior ocorra na terceira onda, o surfista precisa obter notas superiores a 9{,}5 nas duas primeiras ondas e então, na terceira, obter a primeira nota inferior a 9{,}5. Como as ondas são independentes, a probabilidade desse evento é o produto das probabilidades dos três resultados (duas “sucessos” seguidos de uma “falha”).

Passo 3

Agora formalizo com símbolos e a fórmula usada:
  • Defino p como a probabilidade de “sucesso” (nota superior a 9{,}5), logo \,p=0{,}76.
  • Defino q como a probabilidade de “falha” (nota inferior a 9{,}5), logo \,q=1-p=1-0{,}76=0{,}24.
    A fórmula para a probabilidade de a primeira falha ocorrer exatamente na onda k é
\Pr(\text{primeira falha em }k) = p^{\,k-1}\,q.
Aqui cada p representa uma onda com nota > 9{,}5 e o q final representa a primeira onda com nota < 9{,}5.

Passo 4

Aplicando a fórmula para k=3 (primeira falha na terceira onda):
\Pr(\text{primeira falha em }3) = p^{2}\,q = (0{,}76)^{2}\cdot 0{,}24.
Calculemos passo a passo:
(0{,}76)^{2}=0{,}76\times0{,}76=0{,}5776,
0{,}5776\times0{,}24}=0{,}5776\times(0{,}20+0{,}04)=0{,}11552+0{,}023104=0{,}138624.
Arredondando para três casas decimais isso dá 0{,}139.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a probabilidade calculada 0{,}139 aparece na alternativa (a). Portanto a resposta correta é a alternativa (a).

Resposta

(a)\\\ 0{,}139

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