(1 ponto) Suponha que a probabilidade de que um surfista profissional receba uma nota superior a 9.5 em uma onda seja 0.76 , e que cada onda surfada seja independente. Considere que o surfista continue na na bateria de ondas até que tire uma nota inferior a 9.5. Qual é a probabilidade de que na sua
na
onda ele tire sua primeira nota inferior a 9.5?
(a) 0.139
(b) 0.199
(c) 0.061
(d) 0.277
(e) 0.122
(a) 0.139
(b) 0.199
(c) 0.061
(d) 0.277
(e) 0.122
Passo 1
Dados do enunciado:
- A probabilidade de o surfista receber nota superior a
em uma onda é . - Cada onda é independente das outras.
- O surfista continua surfando até tirar uma nota inferior a
.
Pergunta (interpretada aqui): qual é a probabilidade de que a primeira nota inferior aocorra na terceira onda? (Vou usar essa interpretação porque a resposta numérica a seguir corresponde a uma ocorrência na terceira onda — se o enunciado pretendia outro índice, o método abaixo indica como calcular para qualquer onda.)
Passo 2
Modelagem do problema (ideia básica, sem termos técnicos primeiro): para que a primeira nota inferior ocorra na terceira onda, o surfista precisa obter notas superiores a
nas duas primeiras ondas e então, na terceira, obter a primeira nota inferior a
. Como as ondas são independentes, a probabilidade desse evento é o produto das probabilidades dos três resultados (duas “sucessos” seguidos de uma “falha”).
Passo 3
Agora formalizo com símbolos e a fórmula usada:
- Defino
como a probabilidade de “sucesso” (nota superior a ), logo . - Defino
como a probabilidade de “falha” (nota inferior a ), logo .
A fórmula para a probabilidade de a primeira falha ocorrer exatamente na ondaé
Aqui cada
representa uma onda com nota >
e o
final representa a primeira onda com nota <
.
Passo 4
Aplicando a fórmula para
(primeira falha na terceira onda):
Calculemos passo a passo:
Arredondando para três casas decimais isso dá
.
Passo 5
Comparando com as alternativas fornecidas, a probabilidade calculada
aparece na alternativa (a). Portanto a resposta correta é a alternativa (a).