(1 ponto) Suponha que para cada cliente que solicita o cancelamento do seu cartão, a companhia responsável efetivamente realize o cancelamento do cartāo do cliente com probabilidade 0.91 . Qual a probabilidade de que sejam necessários exatamente 3 tentativas para que o primeiro cancelamento seja realizado?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que sejam necessárias exatamente 3 tentativas para que o primeiro cancelamento do cartão seja realizado. As informações dadas são:
  • A cada tentativa, a companhia realiza o cancelamento com probabilidade \,p=0,91.
  • Queremos a probabilidade de que a primeira realização do cancelamento ocorra justamente na 3ª tentativa.
  • Pressupõe‑se, implicitamente, que as tentativas são independentes (o resultado de uma tentativa não altera as probabilidades das outras).

Passo 2

Agora uma pequena aula sobre como abordar esse tipo de problema (passo a passo, com calma).
  • Quando temos repetidas tentativas independentes, cada uma com probabilidade \,p de “sucesso” (aqui: cancelar o cartão), e queremos a probabilidade de que a primeira ocorrência de sucesso aconteça exatamente na tentativa de número \,k, usamos a chamada distribuição geométrica.
  • A fórmula da distribuição geométrica (na forma “número de tentativas até o primeiro sucesso”) é:
\Pr(\text{primeiro sucesso em }k)= (1-p)^{\,k-1}\,p.
Expliquei o que cada termo significa:
  • \,p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa individual.
  • (1-p) é a probabilidade de fracasso em cada tentativa individual.
  • Para que o primeiro sucesso ocorra em \,k, precisamos de \,k-1 fracassos seguidos (cada um com probabilidade (1-p)) e então um sucesso na tentativa \,k (probabilidade p). Como as tentativas são independentes, multiplicamos essas probabilidades: (1-p)^{k-1}\cdot p.
  • Exemplo simples para fixar: se p=0,5 e k=2, a fórmula dá (1-0,5)^{1}\cdot 0,5 = 0,5\cdot 0,5 = 0,25. Ou seja, primeiro sucesso exatamente na 2ª tentativa significa fracasso na 1ª (0,5) e sucesso na 2ª (0,5).

Passo 3

Aplicamos a fórmula ao nosso caso: queremos k=3 e p=0,91. Substituindo na fórmula,
\Pr(\text{primeiro sucesso em }3) = (1-0,91)^{\,3-1}\cdot 0,91.
Simplificando o expoente,
\Pr(\text{primeiro sucesso em }3) = (1-0,91)^{2}\cdot 0,91.

Passo 4

Façamos as contas com calma, sem pular etapas.
  • Primeiro calcule 1-0,91:
1-0,91 = 0,09.
  • Agora elevamos ao quadrado:
(0,09)^{2} = 0,09\times 0,09 = 0,0081.
  • Então multiplicamos por 0,91. Uma maneira prática de multiplicar é usar a identidade 0,91 = 1-0,09:
0,0081\times 0,91 = 0,0081\times(1-0,09) = 0,0081 - 0,0081\times 0,09.
  • Calcule 0,0081\times 0,09. Primeiro 81\times 9=729, contando casas decimais: 0,0081 tem 4 casas decimais e 0,09 tem 2, então o produto tem 6 casas decimais:
0,0081\times 0,09 = 0,000729.
  • Finalmente:
0,0081 - 0,000729 = 0,007371.

Passo 5

Interpretação final: a probabilidade de que o primeiro cancelamento ocorra exatamente na 3ª tentativa é \,0,007371. Em termos percentuais, isso é cerca de 0,7371\% — pequeno, porque a chance de cancelar já é alta a cada tentativa ( 91\%), então normalmente o cancelamento ocorre nas primeiras tentativas.

Resposta

0,007371

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