(1 ponto) Suponha que para cada cliente que solicita o cancelamento do seu cartão, a companhia responsável efetivamente realize o cancelamento do cartāo do cliente com probabilidade 0.91 . Qual a probabilidade de que sejam necessários exatamente 3 tentativas para que o primeiro cancelamento seja realizado?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que sejam necessárias exatamente 3 tentativas para que o primeiro cancelamento do cartão seja realizado. As informações dadas são:
- A cada tentativa, a companhia realiza o cancelamento com probabilidade
. - Queremos a probabilidade de que a primeira realização do cancelamento ocorra justamente na 3ª tentativa.
- Pressupõe‑se, implicitamente, que as tentativas são independentes (o resultado de uma tentativa não altera as probabilidades das outras).
Passo 2
Agora uma pequena aula sobre como abordar esse tipo de problema (passo a passo, com calma).
- Quando temos repetidas tentativas independentes, cada uma com probabilidade
de “sucesso” (aqui: cancelar o cartão), e queremos a probabilidade de que a primeira ocorrência de sucesso aconteça exatamente na tentativa de número , usamos a chamada distribuição geométrica. - A fórmula da distribuição geométrica (na forma “número de tentativas até o primeiro sucesso”) é:
Expliquei o que cada termo significa:
-
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa individual. -
é a probabilidade de fracasso em cada tentativa individual. - Para que o primeiro sucesso ocorra em
, precisamos de fracassos seguidos (cada um com probabilidade ) e então um sucesso na tentativa (probabilidade ). Como as tentativas são independentes, multiplicamos essas probabilidades: . - Exemplo simples para fixar: se
e , a fórmula dá . Ou seja, primeiro sucesso exatamente na 2ª tentativa significa fracasso na 1ª (0,5) e sucesso na 2ª (0,5).
Passo 3
Aplicamos a fórmula ao nosso caso: queremos
e
. Substituindo na fórmula,
Simplificando o expoente,
Passo 4
Façamos as contas com calma, sem pular etapas.
- Primeiro calcule
:
- Agora elevamos ao quadrado:
- Então multiplicamos por
. Uma maneira prática de multiplicar é usar a identidade :
- Calcule
. Primeiro , contando casas decimais: tem 4 casas decimais e tem 2, então o produto tem 6 casas decimais:
- Finalmente:
Passo 5
Interpretação final: a probabilidade de que o primeiro cancelamento ocorra exatamente na 3ª tentativa é
. Em termos percentuais, isso é cerca de
— pequeno, porque a chance de cancelar já é alta a cada tentativa (
), então normalmente o cancelamento ocorre nas primeiras tentativas.