(2,0 Ponto) A taxa metabólica basal (TMB) escala com a massa corporal ( m ) pela relação T M B \propto m^{3 / 4}. Com base no ser humano ( m=70 \mathrm{~kg} e T M B=2000 \mathrm{kcal} / dia ), preencha a tabela abaixo para o metabolismo ( \mathrm{kcal} / \mathrm{dia} ) dos animais.
Coelho Cachorro Humano Cavalo
m= massa (\mathrm{kg}) 2 8 70 600
T M B= Ingestão (\mathrm{kcal} / \mathrm{dia}) 2000

Passo 1

O enunciado dá a lei de escala da taxa metabólica basal (TMB) e pede para completar a tabela com a TMB (em \mathrm{kcal}/dia) para quatro animais. Dados fornecidos:
  • Relação de escala: \mathrm{TMB}\propto m^{3/4}.
  • Referência humana: para m=70\\ \mathrm{kg}, \mathrm{TMB}=2000\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}.
  • Massas dadas na tabela:
    • Coelho: m=2\\ \mathrm{kg}.
    • Cachorro: m=8\\ \mathrm{kg}.
    • Humano: m=70\\ \mathrm{kg} (já com \mathrm{TMB}=2000\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}).
    • Cavalo: m=600\\ \mathrm{kg}.
      O que se pede: preencher os valores de \mathrm{TMB} para Coelho, Cachorro e Cavalo (mantendo o humano como referência).

Passo 2

Transformar a proporcionalidade em uma igualdade com constante de proporcionalidade. Quando dizemos \mathrm{TMB}\propto m^{3/4} significa que existe uma constante positiva k tal que
\mathrm{TMB} = k\, m^{3/4}.
Aqui m é a massa em \mathrm{kg}, m^{3/4} é a massa elevada ao expoente \tfrac{3}{4} (ou 0{,}75), e k tem unidades de \mathrm{kcal}/\text{dia}\cdot\mathrm{kg}^{-3/4}. O próximo passo é determinar k usando o dado humano.

Passo 3

Calcular k a partir do caso humano. Usando \mathrm{TMB}=2000\\ \mathrm{kcal}/\text{dia} para m=70\\ \mathrm{kg}:
k = \frac{\mathrm{TMB}}{m^{3/4}} = \frac{2000}{70^{3/4}}.
Vamos estimar 70^{3/4} de forma prática (sem calculadora avançada): calcular a raiz quadrada e depois elevar a 3/2.
\sqrt{70}\approx 8{,}3666,\qquad 70^{3/4}=(\sqrt{70})^{3/2}=\sqrt{70}\cdot\sqrt{\sqrt{70}}\approx 8{,}3666\times 2{,}8933\approx 24{,}20.
Portanto
k \approx \frac{2000}{24{,}20}\approx 82{,}6\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}\cdot\mathrm{kg}^{-3/4}.
Em palavras: cada unidade de m^{3/4} corresponde a cerca de 82{,}6\\ \mathrm{kcal}/dia.

Passo 4

Explicar como calcular m^{3/4} para um m qualquer (truque útil na prova): escrever m^{3/4}=(\sqrt{m})^{3/2}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{\sqrt{m}} ou usar decomposição em potências (ex.: se m é potência de 2). Assim é fácil estimar com raiz quadrada e mais uma raiz quadrada.

Passo 5

Calcular a TMB do coelho ( m=2\\ \mathrm{kg}).
Primeiro
2^{3/4}=(\sqrt{2})^{3/2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\sqrt{2}}\approx 1{,}4142\times1{,}1892\approx 1{,}6818.
Então
\mathrm{TMB}_{\text{coelho}} = k\cdot 2^{3/4}\approx 82{,}6\times 1{,}6818\approx 139\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}.

Passo 6

Calcular a TMB do cachorro ( m=8\\ \mathrm{kg}). Usar que 8=2^3 facilita:
8^{3/4}=(2^3)^{3/4}=2^{9/4}=2^{2{,}25}=4\cdot 2^{0{,}25}.
Como 2^{0{,}25}=\sqrt{\sqrt{2}}\approx 1{,}1892, tem-se
8^{3/4}\approx 4\times 1{,}1892\approx 4{,}7568.
Então
\mathrm{TMB}_{\text{cachorro}} = k\cdot 8^{3/4}\approx 82{,}6\times 4{,}7568\approx 393\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}.

Passo 7

Calcular a TMB do cavalo ( m=600\\ \mathrm{kg}). Usar novamente a técnica de raízes:
\sqrt{600}\approx 24{,}495,\qquad \sqrt{\sqrt{600}}\approx 4{,}949,
portanto
600^{3/4}=(\sqrt{600})^{3/2}\approx 24{,}495\times 4{,}949\approx 121{,}3.
Logo
\mathrm{TMB}_{\text{cavalo}} = k\cdot 600^{3/4}\approx 82{,}6\times 121{,}3\approx 10020\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}.

Passo 8

Resumo numérico (arredondando para inteiros; usei k\approx 82{,}6\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}\cdot\mathrm{kg}^{-3/4}):
  • Coelho: \approx 139\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}.
  • Cachorro: \approx 393\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}.
  • Humano: 2000\\ \mathrm{kcal}/\text{dia} (dado).
  • Cavalo: \approx 10020\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}.

Resposta

Coelho: 139\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}
Cachorro: 393\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}
Humano: 2000\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}
Cavalo: 10020\\ \mathrm{kcal}/\text{dia}

Exercícios relacionados