A duração da gestação \left(t_{g}\right) segue uma relação da forma t_{g} \propto m^{1 / 4}. A partir do tempo de gestação de uma gata ( \mathrm{m}_{\mathrm{G}}=5 kg e t_{g}=2,3 mês ), calcule a duração da gestação t_{g} (em meses) de uma ratazana ( \mathrm{m}_{\mathrm{R}}=300 \mathrm{~g} ).

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a duração da gestação t_{g} de uma ratazana, sabendo que a duração da gestação segue a lei de proporcionalidade t_{g}\propto m^{1/4}. Dados fornecidos:
  • Para a gata: m_{\mathrm{G}}=5 kg e t_{g,\mathrm{G}}=2,3 mês.
  • Para a ratazana: m_{\mathrm{R}}=300 g (valor fornecido no enunciado).
    Pergunta: determinar t_{g,\mathrm{R}} (em meses) para a ratazana.

Passo 2

Explicar a lei e a estratégia de resolução. A relação de proporcionalidade significa que existe uma constante k tal que
t_{g}=k\,m^{1/4},
onde t_{g} é o tempo de gestação em meses, m é a massa (em alguma unidade consistente) e k é uma constante comum às espécies que obedecem essa lei. Para evitar calcular k explicitamente, é mais prático formar a razão entre os tempos de duas espécies (gata e ratazana), porque k se cancela:
\frac{t_{g,\mathrm{R}}}{t_{g,\mathrm{G}}}=\left(\frac{m_{\mathrm{R}}}{m_{\mathrm{G}}}\right)^{1/4}.
Essa fórmula é muito útil na prova: quando duas quantidades são proporcionais por uma potência, as razões dependem apenas da razão das bases elevadas àquela potência.

Passo 3

Unidades: é obrigatório usar unidades consistentes ao formar a razão de massas. O enunciado deu m_{\mathrm{G}}=5 kg e m_{\mathrm{R}}=300 g. Converto a massa da ratazana para kg:
m_{\mathrm{R}}=300\\ \text{g}=0,3\\ \text{kg}.
Agora tanto m_{\mathrm{R}} quanto m_{\mathrm{G}} estão em kg.

Passo 4

Calcular a razão das massas:
\frac{m_{\mathrm{R}}}{m_{\mathrm{G}}}=\frac{0,3}{5}=0,06.
Anota aí: essa será a base para elevar à potência 1/4.

Passo 5

Calcular \left(\dfrac{m_{\mathrm{R}}}{m_{\mathrm{G}}}\right)^{1/4}=(0,06)^{1/4}. Uma forma prática sem calculadora é lembrar que a raiz quarta é a raiz quadrada da raiz quadrada:
\sqrt{0,06}\approx 0,244948974\quad\text{(primeira raiz quadrada)}
\sqrt{0,244948974}\approx 0,494927\quad\text{(segunda raiz quadrada = quarta raiz)}
Portanto
(0,06)^{1/4}\approx 0,494927.

Passo 6

Agora usar a relação entre tempos:
t_{g,\mathrm{R}}=t_{g,\mathrm{G}}\left(\frac{m_{\mathrm{R}}}{m_{\mathrm{G}}}\right)^{1/4}.
Substituindo os valores:
t_{g,\mathrm{R}}=2,3\times 0,494927\approx 1,1383\\ \text{meses}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (com vírgula, conforme convensão do enunciado):
t_{g,\mathrm{R}}\approx 1,14\\ \text{meses}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica de prova: 1,14 meses é cerca de 1 mês e 0,14\times 30\approx 4 dias, ou seja aproximadamente 34 dias. Em prova, se pedirem só em meses, entregue 1,14 meses; se pedirem dias, converta multiplicando por 30 (ou por 30,44 se quiser mais precisão).

Resposta

t_{g,\mathrm{R}}\approx 1,14\\ \text{meses}

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