O ponto A tem coordenadas (2,3,5) e o ponto B(-1,0,2). Determine o vetor A B, o vetor unitário associado A Bu e os co-senos diretores do vetor A B.

Passo 1

Beleza! A gente tem dois pontos no espaço:
A=(2,3,5) e B=(−1,0,2).
O assunto é Geometria Analítica 3D, e para resolver vamos precisar:
• subtrair coordenadas pra achar o vetor AB;
• usar a fórmula do módulo de um vetor em 3D,
|vec v|=raizx^2+y^2+z^2;
• dividir o vetor pelo seu módulo pra achar o vetor unitário;
• lembrar que os cossenos diretores são os componentes do vetor dividido pelo módulo.

Passo 2

Calcular o vetor AB=B-A,
Isso quer dizer subtrair coordenada a coordenada:
AB=(xB-xA,;yB-yA,;zB-zA)
Então
AB=(-1-2,;0-3,;2-5)=(-3,,-3,,-3),

Passo 3

Agora o módulo de AB:
|AB|=raiz(-3)^2+(-3)^2+(-3)^2=raiz9+9+9=raiz27=3raiz3,

Passo 4

O vetor unitário associado ABu é AB dividido pelo módulo:
ABu=AB|AB| =13raiz3(-3,,-3,,-3) =l(-tfrac1raiz3,,-tfrac1raiz3,,-tfrac1raiz3r),

Passo 5

Os cossenos diretores são
cosalpha=x|vec v|, cosbeta=y|vec v|, cosgamma=z|vec v|
Aqui cada componente de AB é −3 e o módulo é 3raiz3, logo
$$\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma
=\frac{-3}{3\sqrt3}=-\frac{1}{\sqrt3},. $$

Resposta

AB=(-3,,-3,,-3)
ABu=l(-tfrac1raiz3,,-tfrac1raiz3,,-tfrac1raiz3r)
• Cossenos diretores:
$$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)
=(-\tfrac{1}{\sqrt3},,-\tfrac{1}{\sqrt3},,-\tfrac{1}{\sqrt3}),. $$

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