(1,5 ponto) Um trem com velocidade constante de 120 \mathrm{~km} / \mathrm{h} se move na direção leste por 40 min , depois em uma direção nordeste fazendo um ângulo de 50^{\circ} com a direção norte por 20 min e finalmente na direção oeste por mais 50 min . Qual o módulo e o ângulo da velocidade média durante esta viagem?

Passo 1

O enunciado dá um trem que se desloca com velocidade constante de 120\\ \mathrm{km/h} em três trechos, com tempos e direções distintos, e pede o módulo e o ângulo da velocidade média durante toda a viagem. Dados fornecidos:
  • Velocidade escalar (constante): 120\\ \mathrm{km/h}.
  • Trecho 1: direção leste, duração 40\\ \mathrm{min}.
  • Trecho 2: direção “nordeste fazendo um ângulo de 50^\circ com a direção norte”, duração 20\\ \mathrm{min}. (Interpreto isso como uma direção entre norte e leste, inclinada 50^\circ a partir do norte em direção ao leste.)
  • Trecho 3: direção oeste, duração 50\\ \mathrm{min}.
Perguntas explícitas:
  • Qual o módulo da velocidade média (em \mathrm{km/h})?
  • Qual o ângulo da velocidade média (indicar em relação ao leste ou ao norte)?
Informações adicionais úteis (implícitas no enunciado):
  • A velocidade média vetorial é o deslocamento total vetorial dividido pelo tempo total.
  • Convém escolher um sistema de coordenadas: eixo x para leste (positivo para leste), eixo y para norte (positivo para norte).

Passo 2

Conceito chave: velocidade média vetorial.
  • Definição: a velocidade média vetorial \vec{v}_{\text{méd}}é é dada por
\vec{v}_{\text{méd}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t},é
onde \Delta \vec{r} é o deslocamento vetorial total (soma vetorial dos deslocamentos de cada trecho) e \Delta t é o tempo total da viagem.
  • Em prática: calcular os deslocamentos (como vetores), somá‑los componente a componente e dividir pelo tempo total. O módulo da velocidade média é o módulo desse vetor e o ângulo é o ângulo do vetor deslocamento resultante.

Passo 3

Converter tempos para horas (porque a velocidade está em \mathrm{km/h}):
  • 40\\ \mathrm{min} = \dfrac{40}{60}\\ \mathrm{h} = \dfrac{2}{3}\\ \mathrm{h}.
  • 20\\ \mathrm{min} = \dfrac{20}{60}\\ \mathrm{h} = \dfrac{1}{3}\\ \mathrm{h}.
  • 50\\ \mathrm{min} = \dfrac{50}{60}\\ \mathrm{h} = \dfrac{5}{6}\\ \mathrm{h}.
Calcular as distâncias percorridas em cada trecho: d = v \cdot t.
  • Trecho 1: d_1 = 120 \cdot \dfrac{2}{3} = 80\\ \mathrm{km}.
  • Trecho 2: d_2 = 120 \cdot \dfrac{1}{3} = 40\\ \mathrm{km}.
  • Trecho 3: d_3 = 120 \cdot \dfrac{5}{6} = 100\\ \mathrm{km}.

Passo 4

Escolha do sistema de coordenadas e decomposição vetorial:
  • Eixo x: leste positivo.
  • Eixo y: norte positivo.
Como decompor um deslocamento de magnitude d numa direção que forma um ângulo \alpha com o norte (girando em direção ao leste):
  • Componente leste (x): d_x = d \sin\alpha.
  • Componente norte (y): d_y = d \cos\alpha.
    (Explicação rápida: se o ângulo é medido a partir do norte, o adjacente ao ângulo é a componente norte, que corresponde a \cos, e o oposto é a componente leste, que corresponde a \sin.)
No trecho 2 o ângulo com o norte é \alpha=50^\circ. Logo:
d_{2x} = d_2 \sin(50^\circ),\qquad d_{2y} = d_2 \cos(50^\circ).

Passo 5

Calcular componentes de cada trecho:
  • Trecho 1 (leste): d_{1x} = 80\\ \mathrm{km},\quad d_{1y}=0.
  • Trecho 2 (ângulo 50^\circ a partir do norte em direção ao leste): usando d_2=40\\ \mathrm{km},
d_{2x} = 40\sin(50^\circ),\qquad d_{2y}=40\cos(50^\circ).
Usando valores numéricos aproximados \sin(50^\circ)\approx 0{,}766044 e \cos(50^\circ)\approx 0{,}642788,
d_{2x}\approx 40\cdot 0{,}766044 = 30{,}64176\\ \mathrm{km},
d_{2y}\approx 40\cdot 0{,}642788 = 25{,}71152\\ \mathrm{km}.
  • Trecho 3 (oeste): d_{3x} = -100\\ \mathrm{km} (negativo porque é para oeste), d_{3y}=0.

Passo 6

Somar componentes para obter o deslocamento total \Delta \vec{r}:
  • Componente x total:
\Delta r_x = d_{1x} + d_{2x} + d_{3x} = 80 + 30{,}64176 - 100 = 10{,}64176\\ \mathrm{km}.
  • Componente y total:
\Delta r_y = d_{1y} + d_{2y} + d_{3y} = 0 + 25{,}71152 + 0 = 25{,}71152\\ \mathrm{km}.
Portanto o deslocamento resultante é \Delta \vec{r} = (10{,}64176\,\hat{\imath},\;25{,}71152\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{km}.

Passo 7

Calcular o módulo do deslocamento total usando o teorema de Pitágoras:
|\Delta \vec{r}| = \sqrt{(\Delta r_x)^2 + (\Delta r_y)^2}.
Substituindo os valores:
|\Delta \vec{r}| = \sqrt{(10{,}64176)^2 + (25{,}71152)^2}\approx \sqrt{113{,}2471 + 661{,}0823}\approx \sqrt{774{,}3293}\approx 27{,}827\\ \mathrm{km}.
(Repito: os termos ao quadrado foram calculados explicitamente para mostrar o passo; o resultado aproximado é 27{,}827\\ \mathrm{km}.)

Passo 8

Calcular o tempo total da viagem:
\Delta t = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{11}{6}\\ \mathrm{h}\approx 1{,}833333\\ \mathrm{h}.

Passo 9

Calcular o módulo da velocidade média:
v_{\text{méd}} = \frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t} = \frac{27{,}827\\ \mathrm{km}}{11/6\\ \mathrm{h}} = 27{,}827\cdot\frac{6}{11}\\ \mathrm{km/h}\approx 15{,}178\\ \mathrm{km/h}.é
Arredondando com razoável precisão: v_{\text{méd}}\approx 15{,}18\\ \mathrm{km/h}.é

Passo 10

Calcular a direção (ângulo) da velocidade média — mesma direção do vetor deslocamento total:
  • O ângulo \theta medido a partir do leste na direção anti‑horária (isto é, “norte de leste”) satisfaz
\tan\theta = \frac{\Delta r_y}{\Delta r_x} = \frac{25{,}71152}{10{,}64176}\approx 2{,}4161.
  • Logo
\theta = \arctan(2{,}4161)\approx 67{,}52^\circ.
Interpretação: isto é 67{,}52^\circ ao norte do leste. Equivalentemente, em relação ao norte, são 90^\circ-67{,}52^\circ\approx 22{,}48^\circ a leste do norte.

Resposta

Módulo: 15{,}18\\ \mathrm{km/h}
Ângulo: 67{,}52^\circ ao norte do leste (equivalente a 22{,}48^\circ a leste do norte)

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