(1,5 ponto) Um trem com velocidade constante de
se move na direção leste por 40 min , depois em uma direção nordeste fazendo um ângulo de
com a direção norte por 20 min e finalmente na direção oeste por mais 50 min . Qual o módulo e o ângulo da velocidade média durante esta viagem?
Passo 1
O enunciado dá um trem que se desloca com velocidade constante de
em três trechos, com tempos e direções distintos, e pede o módulo e o ângulo da velocidade média durante toda a viagem. Dados fornecidos:
- Velocidade escalar (constante):
. - Trecho 1: direção leste, duração
. - Trecho 2: direção “nordeste fazendo um ângulo de
com a direção norte”, duração . (Interpreto isso como uma direção entre norte e leste, inclinada a partir do norte em direção ao leste.) - Trecho 3: direção oeste, duração
.
Perguntas explícitas:
- Qual o módulo da velocidade média (em
)? - Qual o ângulo da velocidade média (indicar em relação ao leste ou ao norte)?
Informações adicionais úteis (implícitas no enunciado):
- A velocidade média vetorial é o deslocamento total vetorial dividido pelo tempo total.
- Convém escolher um sistema de coordenadas: eixo
para leste (positivo para leste), eixo para norte (positivo para norte).
Passo 2
Conceito chave: velocidade média vetorial.
- Definição: a velocidade média vetorial
é dada por
onde
é o deslocamento vetorial total (soma vetorial dos deslocamentos de cada trecho) e
é o tempo total da viagem.
- Em prática: calcular os deslocamentos (como vetores), somá‑los componente a componente e dividir pelo tempo total. O módulo da velocidade média é o módulo desse vetor e o ângulo é o ângulo do vetor deslocamento resultante.
Passo 3
Converter tempos para horas (porque a velocidade está em
):
-
. -
. -
.
Calcular as distâncias percorridas em cada trecho:
.
- Trecho 1:
- Trecho 2:
- Trecho 3:
Passo 4
Escolha do sistema de coordenadas e decomposição vetorial:
- Eixo
: leste positivo. - Eixo
: norte positivo.
Como decompor um deslocamento de magnitude
numa direção que forma um ângulo
com o norte (girando em direção ao leste):
- Componente leste (x):
. - Componente norte (y):
.
(Explicação rápida: se o ângulo é medido a partir do norte, o adjacente ao ângulo é a componente norte, que corresponde a, e o oposto é a componente leste, que corresponde a .)
No trecho 2 o ângulo com o norte é
. Logo:
Passo 5
Calcular componentes de cada trecho:
- Trecho 1 (leste):
- Trecho 2 (ângulo
a partir do norte em direção ao leste): usando ,
Usando valores numéricos aproximados
e
,
- Trecho 3 (oeste):
(negativo porque é para oeste),
Passo 6
Somar componentes para obter o deslocamento total
:
- Componente
total:
- Componente
total:
Portanto o deslocamento resultante é
Passo 7
Calcular o módulo do deslocamento total usando o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
(Repito: os termos ao quadrado foram calculados explicitamente para mostrar o passo; o resultado aproximado é
.)
Passo 8
Calcular o tempo total da viagem:
Passo 9
Calcular o módulo da velocidade média:
Arredondando com razoável precisão:
Passo 10
Calcular a direção (ângulo) da velocidade média — mesma direção do vetor deslocamento total:
- O ângulo
medido a partir do leste na direção anti‑horária (isto é, “norte de leste”) satisfaz
- Logo
Interpretação: isto é
ao norte do leste. Equivalentemente, em relação ao norte, são
a leste do norte.
Resposta
Módulo:
Ângulo: ao norte do leste (equivalente a
a leste do norte)
Ângulo: