Questão 5

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A variação de pressão em um fluido depende da densidade do fluido e da gravidade local.
Escolha uma opção:
\bigcirc Verdadeiro
\bigcirc Falso

Passo 1

O enunciado apresenta a afirmação: “A variação de pressão em um fluido depende da densidade do fluido e da gravidade local.”
As opções são: Verdadeiro ou Falso.
O que é pedido: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando de forma conceitual e mostrando como chegar nessa conclusão.

Passo 2

Vamos interpretar com cuidado o que significa “variação de pressão em um fluido”. Em linguagem simples: trata-se de como a pressão muda quando nos movimentamos verticalmente dentro do fluido (por exemplo, descendo na água ou subindo na atmosfera). Para estudar isso, consideramos um pequeno pedaço do fluido e escrevemos o equilíbrio de forças nele (força de pressão nas faces superior e inferior e peso do fluido dentro do pedaço).

Passo 3

Escolhemos um pequeno elemento cilíndrico vertical do fluido com área da base A e altura \mathrm{d}z. As forças verticais que atuam são:
  • força para cima devido à pressão na face inferior: p(z)\,A se definirmos z crescente para cima (ou cuidamos do sinal conforme convém);
  • força para baixo devido à pressão na face superior: p(z+\mathrm{d}z)\,A;
  • peso do fluido dentro do elemento: massa vezes gravidade =\rho\,A\,\mathrm{d}z\;g, onde \rho é a densidade do fluido e g é a aceleração da gravidade local.

Passo 4

Escrevendo o equilíbrio (soma das forças = 0) e tomando o sinal consistente com z para cima, temos:
p(z)A - p(z+\mathrm{d}z)A - \rho A\,\mathrm{d}z\;g = 0.
Dividindo por A e rearranjando:
p(z+\mathrm{d}z)-p(z) = -\rho g\,\mathrm{d}z.
Agora passamos ao limite \mathrm{d}z\to0 para obter a derivada:
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g.

Passo 5

Esse resultado é a equação diferencial que relaciona a variação vertical da pressão com a densidade e a gravidade local. Vamos explicar cada símbolo:
  • \mathrm{d}p/\mathrm{d}z é a taxa de variação da pressão em função da altura z (ou profundidade, dependendo do sinal),
  • \rho é a densidade do fluido (massa por unidade de volume), unidade típica \mathrm{kg/m^3},
  • g é a aceleração da gravidade local (unidade típica \mathrm{m/s^2}), que pode variar levemente conforme a latitude e altitude — por isso dizemos “gravidade local”.

Passo 6

Se a densidade for constante com a profundidade (caso simples, por exemplo água incompressível), a equação integra facilmente. Integrando entre duas alturas z_1 e z_2:
\int_{p(z_1)}^{p(z_2)} \mathrm{d}p = -\rho g \int_{z_1}^{z_2} \mathrm{d}z
resultando em
p(z_2)-p(z_1) = -\rho g\,(z_2-z_1).
Em termos práticos, se definirmos a diferença de profundidade h = z_1 - z_2 (por exemplo, descer uma profundidade h), obtemos a fórmula familiar:
\Delta p = \rho g h.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar (sem calculadora, mostrando contas simples): água com \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g \approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Descendo h = 10\\ \mathrm{m},
\Delta p = \rho g h = 1000 \times 9{,}81 \times 10 = 98\,100\\ \mathrm{Pa}\approx 98{,}1\\ \mathrm{kPa}.
Isso mostra quantitativamente que a variação de pressão depende diretamente de \rho e de g.

Passo 8

Observações finais e casos gerais: se a densidade não for constante (por exemplo, ar comprimível ou água com variação de temperatura/saliniz.), a equação geral é
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho(z)\,g(z),
ou seja, a variação local da pressão depende do valor local da densidade \rho(z) e da gravidade local g(z). Portanto a afirmação do enunciado está correta: a variação de pressão em um fluido depende da densidade do fluido e da gravidade local.

Resposta

Verdadeiro

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