(1,0 Ponto) Um vaso de pressẫo esférico, com 300 mm de diâmetro interno, tem parede de espessura igual a 6 mm , e pressão interna de 7 MPa . Sabendo-se que o aço utilizado tem tensão última de 450 MPa , determine o coeficiente de segurança utilizado.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o coeficiente de segurança de um vaso de pressão esférico. As informações fornecidas são:
\begin{aligned} &\text{diâmetro interno }D = 300\\ \text{mm},\\\ &\text{espessura da parede }t = 6\\ \text{mm},\\\ &\text{pressão interna }p = 7\\ \text{MPa},\\\ &\text{tensão última do aço } \sigma_\text{ult} = 450\\ \text{MPa}. \end{aligned}âããúç
A pergunta é: qual é o coeficiente de segurança utilizado? (ou seja, a relação entre a tensão última e a tensão gerada pelo esforço de pressão).

Passo 2

Verifico se posso usar a aproximação de parede delgada (thin-wall). A condição prática é:
\frac{t}{r} < 0,1,
onde r é o raio interno. Aqui r = D/2 = 150\\ \text{mm}, então
\frac{t}{r} = \frac{6}{150} = 0,04 < 0,1.
Logo a hipótese de parede delgada é válida e posso usar as fórmulas simplificadas para tensões de membrana.

Passo 3

Vou deduzir a fórmula da tensão membrana em uma casca esférica de parede delgada. A ideia física é pegar a metade da esfera (corte plano) como corpo livre: a pressão interna atua sobre a área projetada do corte (um círculo de área \pi r^{2}) e tende a empurrar a metade inferior para baixo; essa força é equilibrada pela resistência das tensões tangenciais na borda do corte.
Força resultante da pressão:
F_p = p \cdot \pi r^{2}.
Força resistente do material (membrana) ao longo da circunferência do corte: a tensão uniforme \sigma atua numa “faixa” de largura t ao longo da circunferência 2\pi r, portanto a força resistente é
F_r = \sigma \cdot (2\pi r t).
Equilíbrio (força para cima = força para baixo):
p \pi r^{2} = \sigma \cdot (2\pi r t).
Cancelando \pi r em ambos os lados obtemos a fórmula clássica para esfera:
\sigma = \frac{p r}{2 t}.
Aqui:
  • p é a pressão interna (em \text{MPa} ou \text{N}/\text{mm}^2),
  • r é o raio interno (em \text{mm}),
  • t é a espessura (em \text{mm}),
  • \sigma é a tensão de membrana média (em \text{MPa}).

Passo 4

Calculo a tensão de trabalho substituindo os valores:
\sigma = \frac{p r}{2 t} = \frac{7\cdot 150}{2\cdot 6}\\ \text{MPa}.
Faço as contas passo a passo:
2\cdot 6 = 12,
7\cdot 150 = 1050,
\sigma = \frac{1050}{12} = 87,5\\ \text{MPa}.
Observação sobre unidades: usei p em \text{MPa} e r,t em \text{mm}; como 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N}/\text{mm}^{2}, o resultado já fica em \text{MPa}.

Passo 5

Agora o coeficiente de segurança n (também chamado factor de segurança) é a razão entre a tensão última e a tensão aplicada:
n = \frac{\sigma_\text{ult}}{\sigma}.
Substituindo:
n = \frac{450}{87,5}.
Faço a divisão:
n \approx 5,142857\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
n \approx 5,14.

Passo 6

Pequeno comentário final (pra te animar): um coeficiente de segurança de cerca de 5,14 é bastante conservador para muitos projetos — significa que a tensão aplicada está bem abaixo da resistência última do material. Boa notícia — você já foi longe e compreendeu a dedução! Força nos próximos exercícios.

Resposta

5,14

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