(2,5 Pontos) Um tubo de extremidade aberta tem parede de espessura 5 mm e diâmetro interno 120 mm . Sabendo que antes da falha
, determine a pressão máxima interna que esse tubo pode suportar e o estado tensões no material imediatamente antes do tubo falhar.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (identificar direitinho o que pedem).\n
Temos um tubo de extremidade aberta com parede de espessura e diâmetro interno
. Antes da falha a tensão máxima no material vale
. O que pedem:
Temos um tubo de extremidade aberta com parede de espessura
- Determinar a pressão interna máxima que o tubo pode suportar.
- Determinar o estado de tensões no material imediatamente antes da falha.\n
Dados extraídos do enunciado:
Observação: o tubo é de extremidade aberta (isto influencia a tensão axial).
Passo 2
Decidir o modelo (thin‑walled ou thick‑walled) e justificar. Vou verificar se podemos usar a aproximação de casca delgada (thin‑walled). Critério usual: espessura deve ser pequena em relação ao raio médio, tipicamente
.\n
Calculo do raio médio:
Calculo do raio médio:
Agora a razão:
Portanto a aproximação de casca delgada (thin‑walled) é válida: podemos usar as fórmulas simples para tensões em um cilindro submetido à pressão interna.
Passo 3
Explicar e deduzir a fórmula da tensão circunferencial (hoop stress). Ensino rápido: a tensão circunferencial (também chamada de tensão de aro ou hoop) é a que “puxa” o anel do cilindro no sentido circumferencial quando existe pressão interna. Para um cilindro delgado, por equilíbrio de forças (pegar meio tubo de comprimento
cortado por um plano longitudinal), a força resultante da pressão é equilibrada pela força de tração nas paredes. O balanço dá a fórmula clássica:
Onde:
-
é a pressão interna (o que queremos achar), -
é o raio médio do tubo (usamos ), -
é a espessura da parede.
Vou explicar a ideia do equilíbrio em palavras: a pressão age sobre a área projetada que tende a “abrir” o tubo; essa força é
(projeção do semitubo). Essa força é resistida por duas tiras de parede de área
cada, com tensão
. Igualando:
Passo 4
Explicar a tensão axial (longitudinal) e como a condição de extremidade aberta muda o resultado. Conceito: a tensão axial
aparece quando há esforço que puxa o tubo ao longo do eixo. Para um cilindro com tampas (extremidades fechadas) a pressão interna empurra sobre as tampas e gera uma força axial resultante que é equilibrada pela tração das paredes, o que leva à fórmula
Mas no nosso caso o tubo tem extremidade aberta. Isso significa que não há tampas para o fluido empurrar: a pressão atua apenas na superfície curva e as componentes axiais das forças da pressão sobre a superfície curva se cancelam por simetria — não existe força resultante axial devido à pressão interna. Logo o efeito de pressão interna não produz tensão axial de tração no material do tubo; assim, imediatamente antes da falha causada pela pressão interna, tomamos
É importante destacar: se existirem carregamentos externos ou restrições, pode haver
diferente de zero, mas o enunciado só fala em pressão interna e em extremidade aberta, então consideramos
.
Passo 5
Relacionar
com as tensões do tubo e escolher qual tensão atinge
primeiro. Num tubo submetido à pressão interna, a tensão circunferencial
é a maior tensão de tração (normalmente maior que a axial). Como o enunciado deu
imediatamente antes da falha, assumimos que essa é a tensão circunferencial que alcança o limite do material. Portanto impomos:
Usamos a fórmula de
do Passo 3 e resolvemos para
:
Passo 6
Calcular numericamente
. Substituindo os valores (atenção às unidades: usamos mm e MPa, mas como são razões, as unidades de comprimento se cancelam; resultado em MPa):
Portanto a pressão máxima interna que o tubo pode suportar é
. (Se quiser em unidades mais familiares:
.)
Passo 7
Determinar o estado de tensões no material imediatamente antes da falha (listar componentes principais).\n
- Tensão circunferencial (hoop) atingindo o máximo:
- Tensão axial (longitudinal), por ser tubo de extremidade aberta:
- Tensão radial
: em cascas delgadas a variação radial é pequena comparada às tensões de membrana, mas na superfície interna a tensão radial é igual à pressão (compressão) e na superfície externa é a pressão ambiente (zero). Assim:
Como o tubo é delgado, consideramos o estado de tensões no material através da espessura aproximadamente como
perto da face interna; na face externa
. Os principais tensores principais de interesse (normais) são, então,
,
,
(compressivo,
na superfície interna).
Passo 8
Comentário final e incentivo rápido. Bom trabalho! A ideia central é: reconhecer que o aro (hoop) é o queridinho que falha primeiro num tubo pressionado, checar a validade da casca delgada, usar raio médio e aplicar
. Você já tem a técnica para problemas parecidos — repasse esse raciocínio e faça mais exercícios!
Resposta
Estado de tensões imediatamente antes da falha (na face interna, aproximado por casca delgada):