(2,5 Pontos) Um tubo de extremidade aberta tem parede de espessura 5 mm e diâmetro interno 120 mm . Sabendo que antes da falha \sigma_{\mathrm{MAX}}=200 \mathrm{MPa}, determine a pressão máxima interna que esse tubo pode suportar e o estado tensões no material imediatamente antes do tubo falhar.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (identificar direitinho o que pedem).\n
Temos um tubo de extremidade aberta com parede de espessura 5\\ \mathrm{mm} e diâmetro interno 120\\ \mathrm{mm}. Antes da falha a tensão máxima no material vale \sigma_{\mathrm{MAX}}=200\\ \mathrm{MPa}. O que pedem:
  1. Determinar a pressão interna máxima que o tubo pode suportar.
  2. Determinar o estado de tensões no material imediatamente antes da falha.\n
    Dados extraídos do enunciado:
t = 5\\ \mathrm{mm},
d_{i} = 120\\ \mathrm{mm}\Rightarrow r_{i}=\frac{d_{i}}{2}=60\\ \mathrm{mm},
\sigma_{\mathrm{MAX}} = 200\\ \mathrm{MPa}.
Observação: o tubo é de extremidade aberta (isto influencia a tensão axial).

Passo 2

Decidir o modelo (thin‑walled ou thick‑walled) e justificar. Vou verificar se podemos usar a aproximação de casca delgada (thin‑walled). Critério usual: espessura deve ser pequena em relação ao raio médio, tipicamente t \le 0{,}1\,r_{\text{média}}é.\n
Calculo do raio médio:
r_{\text{média}} = r_{i} + \frac{t}{2} = 60\\ \mathrm{mm} + \frac{5\\ \mathrm{mm}}{2} = 62{,}5\\ \mathrm{mm}.é
Agora a razão:
\frac{t}{r_{\text{média}}}=\frac{5}{62{,}5}=0{,}08<0{,}1.é
Portanto a aproximação de casca delgada (thin‑walled) é válida: podemos usar as fórmulas simples para tensões em um cilindro submetido à pressão interna.

Passo 3

Explicar e deduzir a fórmula da tensão circunferencial (hoop stress). Ensino rápido: a tensão circunferencial (também chamada de tensão de aro ou hoop) é a que “puxa” o anel do cilindro no sentido circumferencial quando existe pressão interna. Para um cilindro delgado, por equilíbrio de forças (pegar meio tubo de comprimento L cortado por um plano longitudinal), a força resultante da pressão é equilibrada pela força de tração nas paredes. O balanço dá a fórmula clássica:
\sigma_{\theta}=\frac{p\,r_{\text{média}}}{t}.é
Onde:
  • p é a pressão interna (o que queremos achar),
  • r_{\text{média}}é é o raio médio do tubo (usamos 62{,}5\\ \mathrm{mm}),
  • t é a espessura da parede.
Vou explicar a ideia do equilíbrio em palavras: a pressão age sobre a área projetada que tende a “abrir” o tubo; essa força é p\times(2r_{\text{média}}L)é (projeção do semitubo). Essa força é resistida por duas tiras de parede de área tL cada, com tensão \sigma_{\theta}. Igualando:
p(2r_{\text{média}}L)=2(tL)\sigma_{\theta}\quad\Rightarrow\quad \sigma_{\theta}=\frac{p r_{\text{média}}}{t}.éé

Passo 4

Explicar a tensão axial (longitudinal) e como a condição de extremidade aberta muda o resultado. Conceito: a tensão axial \sigma_{z} aparece quando há esforço que puxa o tubo ao longo do eixo. Para um cilindro com tampas (extremidades fechadas) a pressão interna empurra sobre as tampas e gera uma força axial resultante que é equilibrada pela tração das paredes, o que leva à fórmula
\sigma_{z}=\frac{p\,r_{\text{média}}}{2t}\quad\text{(caso com extremidades fechadas).}é
Mas no nosso caso o tubo tem extremidade aberta. Isso significa que não há tampas para o fluido empurrar: a pressão atua apenas na superfície curva e as componentes axiais das forças da pressão sobre a superfície curva se cancelam por simetria — não existe força resultante axial devido à pressão interna. Logo o efeito de pressão interna não produz tensão axial de tração no material do tubo; assim, imediatamente antes da falha causada pela pressão interna, tomamos
\sigma_{z}=0\quad\text{(tubo de extremidade aberta).}
É importante destacar: se existirem carregamentos externos ou restrições, pode haver \sigma_{z} diferente de zero, mas o enunciado só fala em pressão interna e em extremidade aberta, então consideramos \sigma_{z}=0.

Passo 5

Relacionar \sigma_{\mathrm{MAX}} com as tensões do tubo e escolher qual tensão atinge \sigma_{\mathrm{MAX}} primeiro. Num tubo submetido à pressão interna, a tensão circunferencial \sigma_{\theta} é a maior tensão de tração (normalmente maior que a axial). Como o enunciado deu \sigma_{\mathrm{MAX}}=200\\ \mathrm{MPa} imediatamente antes da falha, assumimos que essa é a tensão circunferencial que alcança o limite do material. Portanto impomos:
\sigma_{\theta}=\sigma_{\mathrm{MAX}}.
Usamos a fórmula de \sigma_{\theta} do Passo 3 e resolvemos para p:
\sigma_{\mathrm{MAX}}=\frac{p_{\max} \, r_{\text{média}}}{t}\quad\Rightarrow\quad p_{\max}=\frac{\sigma_{\mathrm{MAX}}\, t}{r_{\text{média}}}.éé

Passo 6

Calcular numericamente p_{\max}. Substituindo os valores (atenção às unidades: usamos mm e MPa, mas como são razões, as unidades de comprimento se cancelam; resultado em MPa):
p_{\max}=\frac{200\\ \mathrm{MPa}\times 5\\ \mathrm{mm}}{62{,}5\\ \mathrm{mm}}=\frac{1000}{62{,}5}\\ \mathrm{MPa}=16\\ \mathrm{MPa}.
Portanto a pressão máxima interna que o tubo pode suportar é 16\\ \mathrm{MPa}. (Se quiser em unidades mais familiares: 16\\ \mathrm{MPa}\approx 160\\ \mathrm{bar}.)

Passo 7

Determinar o estado de tensões no material imediatamente antes da falha (listar componentes principais).\n
  • Tensão circunferencial (hoop) atingindo o máximo:
\sigma_{\theta}= \sigma_{\mathrm{MAX}}=200\\ \mathrm{MPa}\\ (\text{tração}).çã
  • Tensão axial (longitudinal), por ser tubo de extremidade aberta:
\sigma_{z}=0\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensão radial \sigma_{r}: em cascas delgadas a variação radial é pequena comparada às tensões de membrana, mas na superfície interna a tensão radial é igual à pressão (compressão) e na superfície externa é a pressão ambiente (zero). Assim:
\sigma_{r,\text{interna}}=-p_{\max}=-16\\ \mathrm{MPa}\quad(\text{compressão}),ã
\sigma_{r,\text{externa}}=0\\ \mathrm{MPa}.
Como o tubo é delgado, consideramos o estado de tensões no material através da espessura aproximadamente como \{\sigma_{r},\sigma_{\theta},\sigma_{z}\}\approx\{-16\\ \mathrm{MPa},\\\ 200\\ \mathrm{MPa},\\\ 0\\ \mathrm{MPa}\} perto da face interna; na face externa \sigma_{r}\approx 0. Os principais tensores principais de interesse (normais) são, então, \sigma_1=\sigma_{\theta}=200\\ \mathrm{MPa}, \sigma_2=\sigma_{z}=0, \sigma_3\approx\sigma_{r} (compressivo, -16\\ \mathrm{MPa} na superfície interna).

Passo 8

Comentário final e incentivo rápido. Bom trabalho! A ideia central é: reconhecer que o aro (hoop) é o queridinho que falha primeiro num tubo pressionado, checar a validade da casca delgada, usar raio médio e aplicar \sigma_{\theta}=p r_{\text{média}}/té. Você já tem a técnica para problemas parecidos — repasse esse raciocínio e faça mais exercícios!

Resposta

p_{\max}=16\\ \mathrm{MPa}.\n
Estado de tensões imediatamente antes da falha (na face interna, aproximado por casca delgada): \sigma_{\theta}=200\\ \mathrm{MPa} (tração), \sigma_{z}=0\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{r,\text{interna}}=-16\\ \mathrm{MPa} (compressão), \sigma_{r,\text{externa}}=0\\ \mathrm{MPa}.

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