Um sistema com 1 GDL possui \mathrm{m}=4 \mathrm{~kg}, \mathrm{c}=35 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, \mathrm{k}=\boldsymbol{8} \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
10 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá um sistema de 1 GDL com massa, amortecimento, rigidez e força harmônica. Pedidos e dados relevantes (copiados do enunciado):
m=4\\ \mathrm{kg}
c=35\\ \mathrm{Ns/m}
k=8\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m}
amplitude da força F_{0}=20\\ \mathrm{N} (excitação harmônica)
frequência de excitação \omega=10\\ \mathrm{rad/s}
O que se pede: determinar a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase, quando a frequência da excitação é \omega=10\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Equação do movimento (equação diferencial do sistema massa-amortecedor-mola) e significado das grandezas:
m\ddot{x}(t)+c\dot{x}(t)+kx(t)=F_{0}\cos(\omega t)
Onde:
  • \(x(t)) é o deslocamento (função do tempo) que queremos na regime permanente;
  • \(\ddot{x}(t)) é a aceleração, \(\dot{x}(t)) é a velocidade;
  • \(m) é a massa, \(c) é o coeficiente de amortecimento, \(k) é a rigidez;
  • \(F_{0}) é a amplitude da força harmônica e \(\omega) é a frequência angular da excitação.
Na regime permanente procuramos uma solução com a mesma frequência da excitação, da forma
x(t)=X\cos(\omega t-\varphi),
onde \(X) é a amplitude de estado estacionário e \(\varphi) é o ângulo de fase (deslocamento de fase entre força e resposta). Vou usar a convenção onde \(x) “atrasa” a força por \(\varphi) (isso é padrão ao escrever x(t)=X\cos(\omega t-\varphi)).

Passo 3

Como obter X e \varphi: método da representação complexa / fasores (explicação rápida e intuitiva)
  • Substituímos a força por F_{0}e^{i\omega t} e procuramos uma solução proporcional X e^{i(\omega t-\varphi)}. Isso leva à função de transferência complexa (impedância dinâmica):
H(i\omega)=\frac{1}{k-m\omega^{2}+i c\omega}.
  • A amplitude X é o módulo da resposta multiplicado por F_{0}:
X=\left|H(i\omega)\right|F_{0}=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}}.
Explicação dos termos na fórmula:
  • \(k-m\omega^{2}) representa a parte real da impedância dinâmica (efeito combinado de rigidez e inércia);
  • \(c\omega) representa a parte imaginária (efeito do amortecimento multiplicado pela frequência);
  • Somando os quadrados obtemos o quadrado do módulo da impedância; a amplitude é F_{0} dividida por esse módulo.

Passo 4

Fórmula do ângulo de fase \varphi:
\varphi=\arctan\left(\frac{c\omega}{\,k-m\omega^{2}\,}\right).
Interpretação:
  • Se k-m\omega^{2}>0, então \varphi é pequeno e positivo: a resposta atrasa a força por \varphi.
  • Se k-m\omega^{2}<0, o termo real é negativo e a fase fica numa quadrante que dá atraso maior (princípio geral: \varphi dado pela função arctan deve levar em conta o sinal do denominador para a quadrante correto; aqui vamos calcular numericamente).

Passo 5

Agora calculamos passo a passo com os valores numéricos dados.
Calcule \;m\omega^{2}\;:
m\omega^{2}=4\cdot(10)^{2}=4\cdot 100=400.
Calcule \;k-m\omega^{2}\;:
k-m\omega^{2}=8\times 10^{3}-400=8000-400=7600.
Calcule \;c\omega\;:
c\omega=35\cdot 10=350.
Agora calcule o denominador da expressão de X:
\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}=\sqrt{7600^{2}+350^{2}}.
Compute os quadrados:
7600^{2}=57\,760\,000,\qquad 350^{2}=122\,500.
\text{soma}=57\,760\,000+122\,500=57\,882\,500.
Raiz:
\sqrt{57\,882\,500}\approx 7608{,}06.

Passo 6

Amplitude X:
X=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}} =\frac{20}{7608{,}06}\approx 0{,}00263\\ \mathrm{m}.
Em milímetros:
X\approx 2{,}63\\ \mathrm{mm}.
(Comentário amigo: como k é bem maior que m\omega^{2} aqui, a amplitude fica bem pequena — faz sentido físico.)

Passo 7

Ângulo de fase \varphi:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{c\omega}{k-m\omega^{2}}\right)=\arctan\!\left(\frac{350}{7600}\right)=\arctan(0{,}0460526\ldots).
Cálculo numérico:
\varphi\approx 0{,}0460\\ \mathrm{rad}\approx 2{,}64^\circ.
Interpretação final: \varphi>0 e pequeno, então a resposta (deslocamento) atrasa a força em cerca de 0{,}046\\ \mathrm{rad}.

Resposta

Amplitude X\approx 0,00263\\ \mathrm{m}=2,63\\ \mathrm{mm}
Ângulo de fase \varphi\approx 0,0460\\ \mathrm{rad}=2,64^\circ

Exercícios relacionados