Um sistema com 1 GDL possui
,
, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
Passo 1
O enunciado dá um sistema de 1 GDL com massa, amortecimento, rigidez e força harmônica. Pedidos e dados relevantes (copiados do enunciado):
amplitude da força
frequência de excitação
O que se pede: determinar a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase, quando a frequência da excitação é
.
Passo 2
Equação do movimento (equação diferencial do sistema massa-amortecedor-mola) e significado das grandezas:
Onde:
- ) é o deslocamento (função do tempo) que queremos na regime permanente;
- ) é a aceleração, ) é a velocidade;
- ) é a massa, ) é o coeficiente de amortecimento, ) é a rigidez;
- ) é a amplitude da força harmônica e ) é a frequência angular da excitação.
Na regime permanente procuramos uma solução com a mesma frequência da excitação, da forma
onde
) é a amplitude de estado estacionário e
) é o ângulo de fase (deslocamento de fase entre força e resposta). Vou usar a convenção onde
) “atrasa” a força por
) (isso é padrão ao escrever
).
Passo 3
Como obter
e
: método da representação complexa / fasores (explicação rápida e intuitiva)
- Substituímos a força por
e procuramos uma solução proporcional . Isso leva à função de transferência complexa (impedância dinâmica):
- A amplitude
é o módulo da resposta multiplicado por :
Explicação dos termos na fórmula:
- ) representa a parte real da impedância dinâmica (efeito combinado de rigidez e inércia);
- ) representa a parte imaginária (efeito do amortecimento multiplicado pela frequência);
- Somando os quadrados obtemos o quadrado do módulo da impedância; a amplitude é
dividida por esse módulo.
Passo 4
Fórmula do ângulo de fase
:
Interpretação:
- Se
, então é pequeno e positivo: a resposta atrasa a força por . - Se
, o termo real é negativo e a fase fica numa quadrante que dá atraso maior (princípio geral: dado pela função arctan deve levar em conta o sinal do denominador para a quadrante correto; aqui vamos calcular numericamente).
Passo 5
Agora calculamos passo a passo com os valores numéricos dados.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Agora calcule o denominador da expressão de
:
Compute os quadrados:
Raiz:
Passo 6
Amplitude
:
Em milímetros:
(Comentário amigo: como
é bem maior que
aqui, a amplitude fica bem pequena — faz sentido físico.)
Passo 7
Ângulo de fase
:
Cálculo numérico:
Interpretação final:
e pequeno, então a resposta (deslocamento) atrasa a força em cerca de
.
Resposta
Amplitude
Ângulo de fase
Ângulo de fase