1. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firm as: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)-b p_{2}
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m éo gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de complementaridade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)-b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
\frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0 \text { e } \frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial m}>0
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser impost a sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em p_{2} sobre p_{1}^{*} e m^{*}. An alise os sinais.

Passo 1

O enunciado descreve a firma 1 que, enfrentando demanda
q_{1}(p_{1},m,p_{2}) = f(p_{1},m)\;-\;b\,p_{2},
custo c(q_{1},m)=c\,q_{1}+m e lucro
\pi(p_{1},m,p_{2})=(p_{1}-c)\bigl[f(p_{1},m)-b\,p_{2}\bigr]\;-\;m.
Vamos (i) tirar as condições de primeira ordem e achar os sinais de p_{1}^{*}-c e de q_{1}^{*}, (ii) expor as condições de segunda ordem para máximo local e (iii) usar o Teorema da Função Implícita para estudar \dfrac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}} e \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}}.

Passo 2

As condições de primeira ordem vêm de
\frac{\partial \pi}{\partial p_{1}}=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial \pi}{\partial m}=0.
Calculemos cada uma.
\frac{\partial \pi}{\partial p_{1}} =\bigl[f(p_{1},m)-b\,p_{2}\bigr] \;+\;(p_{1}-c)\,\frac{\partial f}{\partial p_{1}} =0
\frac{\partial \pi}{\partial m} =(p_{1}-c)\,\frac{\partial f}{\partial m}-1 =0.
Da segunda condição segue
(p_{1}^{*}-c)\,\frac{\partial f}{\partial m}(p_{1}^{*},m^{*})=1 \;\Longrightarrow\; p_{1}^{*}-c=\frac{1}{f_{m}}>0.
Como p_{1}^{*}>c e assumimos solução interior, a quantidade \;q_{1}^{*}=f(p_{1}^{*},m^{*})-b\,p_{2}\;
também é positiva.

Passo 3

Para garantir máximo local estrito, a Hessiana de \pi em (p_{1},m) deve ser negativa definida. Seus elementos são
\pi_{p_{1}p_{1}} =2\,f_{p}+(p_{1}-c)\,f_{pp},\quad \pi_{mm}=(p_{1}-c)\,f_{mm},\quad \pi_{p_{1}m}=\pi_{m p_{1}} =f_{m}+(p_{1}-c)\,f_{pm}.
Já sabemos f_{p}<0 e f_{pp}<0, logo \pi_{p_{1}p_{1}}<0.
Para serem negativas definidas, também é preciso
\det \begin{pmatrix} \pi_{p_{1}p_{1}} & \pi_{p_{1}m}\\\ \pi_{m p_{1}} & \pi_{mm} \end{pmatrix} =\pi_{p_{1}p_{1}}\,\pi_{mm} -\bigl(\pi_{p_{1}m}\bigr)^{2} >0.
Como \pi_{p_{1}p_{1}}<0, exige-se \pi_{mm}<0, ou seja
(p_{1}^{*}-c)\,f_{mm}(p_{1}^{*},m^{*})<0 \;\Longrightarrow\; f_{mm}(p_{1}^{*},m^{*})<0.
Além disso, a desigualdade acima implica que f_{mm} seja suficientemente negativo, de modo a superar o termo (\pi_{p_{1}m})^{2}.

Passo 4

Para obter \dfrac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}} e \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}} aplicamos o Teorema da Função Implícita às duas FOCs F_{1}=0, F_{2}=0. Chamando
F_{1}(p_{1},m,p_{2}) =f(p_{1},m)-b\,p_{2}+(p_{1}-c)f_{p},\quad F_{2}(p_{1},m,p_{2}) =(p_{1}-c)f_{m}-1,
temos
\frac{d}{dp_{2}} \begin{pmatrix}F_{1}\F_{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} F_{1p_{1}} & F_{1m}\\\ F_{2p_{1}} & F_{2m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}}\\[6pt] \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Como \partial F_{1}/\partial p_{2}=-b e \partial F_{2}/\partial p_{2}=0, segue
\begin{pmatrix} \dfrac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}}\\[4pt] \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}} \end{pmatrix} =-H^{-1} \begin{pmatrix}-b\\\ 0\end{pmatrix} =H^{-1} \begin{pmatrix}b\\\ 0\end{pmatrix},
onde H é a Hessiana de \pi vista no passo anterior.]

Passo 5

Como H é negativa definida, seu determinante det (H)>0. O co-fator associado a \dfrac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}} é \pi_{mm}<0, logo
\dfrac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}} =\frac{b\;\pi_{mm}}{\det(H)}<0.
De modo análogo, o co-fator que gera \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}} também é negativo, implicando
\dfrac{dm^{*}}{dp_{2}}<0.
Isto significa que, se o preço p_{2} da firma 2 aumenta, a firma 1 reduz tanto seu preço ótimo p_{1}^{*} quanto seu investimento ótimo em marketing m^{*}.

Resposta

(a) As FOCs são
\frac{\partial \pi}{\partial p_{1}}:\;f(p_{1},m)-b\,p_{2}+(p_{1}-c)f_{p}=0, \quad \frac{\partial \pi}{\partial m}:\;(p_{1}-c)f_{m}-1=0.
Dessas, p_{1}^{*}-c=1/f_{m}>0 e q_{1}^{*}=f(p_{1}^{*},m^{*})-b\,p_{2}>0.
(b) É preciso que a Hessiana em (p_{1}^{*},m^{*}) seja negativa definida, ou seja \pi_{p_{1}p_{1}}<0 e \det(H)>0. Em particular exige-se
f_{mm}(p_{1}^{*},m^{*})<0
e suficientemente negativo para que \pi_{p_{1}p_{1}}\,\pi_{mm}-(\pi_{p_{1}m})^{2}>0.
(c) Pelas derivadas implícitas obtém-se
\frac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}}<0, \quad \frac{dm^{*}}{dp_{2}}<0.

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