- (2,5 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens
podem ser representadas pela função utilidade
. Esse consumidor possui renda
e se depara com os preços
. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda,
e
, como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor. Assuma solução interior:
e
0.
(b)
ponto) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) ( 1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação como multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
(b)
(c) ( 1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação como multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
Passo 1
O enunciado apresenta um consumidor com utilidade quasilinear
sujeito à restrição orçamentária
com
.
Vamos usar o método de Lagrange para (a) obter as funções demanda e
, depois (b) calcular a utilidade indireta
e por fim (c) a utilidade marginal da renda e relacioná-la com o multiplicador de Lagrange
.
Vamos usar o método de Lagrange para (a) obter as funções demanda
Passo 2
Formamos o Lagrangiano
As condições de primeira ordem (assumindo solução interior) são
Passo 3
Substituindo
em
obtemos
Como a restrição se faz com igualdade,
e daí
Passo 4
A utilidade indireta
é o valor de
nas demandas ótimas:
Passo 5
A utilidade marginal da renda é
Comparando com o multiplicador de Lagrange obtido em
Passo 6
Resposta
(a)
(b)
(c) que coincide com o multiplicador de Lagrange
.
(b)
(c)