1. (1,5 ponto) Os vetores v_{1}=(1,3,2), v_{2}=(4,5,7) e v_{3}=(0,2,0) são linearmente independentes? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se os vetores
v_{1}=(1,3,2),\quad v_{2}=(4,5,7),\quad v_{3}=(0,2,0)
são linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Vamos usar o critério de determinante: três vetores em \mathbb{R}^3 são independentes se, ao colocá-los como colunas de uma matriz 3\times3, o determinante dessa matriz for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0\\[6pt] 3 & 5 & 2\\[6pt] 2 & 7 & 0 \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq0, então \operatorname{rank}(A)=3 e os vetores são linearmente independentes.]

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) =1\cdot\bigl(5\cdot0-2\cdot7\bigr) -4\cdot\bigl(3\cdot0-2\cdot2\bigr) +0\cdot\bigl(3\cdot7-5\cdot2\bigr).
Dentro dos parênteses:
5\cdot0-2\cdot7 = -14, \quad 3\cdot0-2\cdot2 = -4.
Logo
\det(A) = 1\cdot(-14) - 4\cdot(-4) = -14 +16 = 2.

Passo 4

Como \det(A)=2\neq0, temos \operatorname{rank}(A)=3 e, portanto, a única combinação linear
\alpha\,v_{1} + \beta\,v_{2} + \gamma\,v_{3} = 0
é a trivial \alpha=\beta=\gamma=0. Isso mostra que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes, pois o determinante da matriz formada por eles é igual a 2\neq0.

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