1. ( 3,0 pontos) Considere uma firma A, que atua em um determinado mercado tendo como concorrente a firma B. A demanda pelo produto da firma A é dada por q_{A}=\sqrt{m}-p_{A}+p_{B}, onde m representa o gasto com marketing da firma A e p_{i} denota o preço da firma i=A, B. O custo de produção da firma A é C_{A}\left(q_{A}\right)=c q_{A}. Assim, a função lucro da firma A é dada por:
\pi_{A}\left(m, p_{A} ; p_{B}\right)=\left[\sqrt{m}-p_{A}+p_{B}\right]\left(p_{A}-c\right)-m
A firma A escolhe o seu gasto com marketing e o seu preço de forma a maximizar o seu lucro. Com base nessas informações:
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para o problema da firma A.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma A.
(c) (1,0 ponto) Encontre o impacto de um aumento no preço da firma B sobre m e p_{A}.

Passo 1

O enunciado dá a função lucro da firma A
\pi_{A}(m,p_{A};p_{B})=\bigl[\sqrt{m}-p_{A}+p_{B}\bigr](p_{A}-c)\;-\;m
e pede:
(a) as condições de primeira ordem (FOC) em m e p_{A};
(b) as condições de segunda ordem (SOS) para garantir máximo;
(c) o efeito de um aumento de p_{B} sobre as escolhas ótimas m^{*} e p_{A}^{*}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Definindo \displaystyle Q=\sqrt{m}-p_{A}+p_{B},
temos
\frac{\partial\pi_{A}}{\partial p_{A}} =(\partial_{p_{A}}Q)\,(p_{A}-c)+Q =-1\cdot(p_{A}-c)+Q =Q-(p_{A}-c)=0,
isto é,
\sqrt{m}-p_{A}+p_{B}-(p_{A}-c)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,p_{A}=\sqrt{m}+p_{B}+c.
E
\frac{\partial\pi_{A}}{\partial m} =(\partial_{m}Q)\,(p_{A}-c)-1 =\frac{1}{2\sqrt{m}}\,(p_{A}-c)-1=0 \quad\Longrightarrow\quad p_{A}-c=2\,\sqrt{m}.

Passo 3

As condições de segunda ordem exigem Hessiano negativo definido.
As segundas derivadas são
\pi_{p_{A}p_{A}}=-2,\quad \pi_{mm}=-\frac{p_{A}-c}{4\,m^{3/2}},\quad \pi_{p_{A}m}=\pi_{m p_{A}}=\frac{1}{2\sqrt{m}}.
Verificamos \pi_{p_{A}p_{A}}<0 e
\det H =\pi_{p_{A}p_{A}}\,\pi_{mm}-\bigl(\pi_{p_{A}m}\bigr)^{2} = (-2)\Bigl(-\frac{p_{A}-c}{4\,m^{3/2}}\Bigr) -\frac{1}{4\,m} >0
avaliado nas FOC (usando p_{A}-c=2\sqrt{m} \det H=3/(4m)>0).

Passo 4

Para os efeitos de p_{B} podemos resolver explicitamente:
de p_{A}-c=2\sqrt{m} vem \sqrt{m}=(p_{A}-c)/2.
Substituindo em 2p_{A}=\sqrt{m}+p_{B}+c obtém-se
3\,p_{A}=2\,p_{B}+3c \quad\Longrightarrow\quad p_{A}^{*}=\frac{2}{3}p_{B}+c,
e então
\sqrt{m^{*}}=\frac{p_{A}^{*}-c}{2}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{2}{3}p_{B}\Bigr) =\frac{p_{B}}{3} \;\Longrightarrow\; m^{*}=\frac{p_{B}^{2}}{9}.
Logo \partial p_{A}^{*}/\partial p_{B}=2/3>0 e \partial m^{*}/\partial p_{B}=2p_{B}/9>0.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{\partial\pi_{A}}{\partial p_{A}}=0\implies 2p_{A}=\sqrt{m}+p_{B}+c, \displaystyle\frac{\partial\pi_{A}}{\partial m}=0\implies p_{A}-c=2\sqrt{m}.
(b) \pi_{p_{A}p_{A}}=-2<0 e \det H>0 (negativo definido).
(c) \displaystyle p_{A}^{*}=\tfrac{2}{3}p_{B}+c, \displaystyle m^{*}=\tfrac{p_{B}^{2}}{9},
portanto \partial p_{A}^{*}/\partial p_{B}=2/3>0, \partial m^{*}/\partial p_{B}=2p_{B}/9>0.

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