- ( 3,0 pontos) Considere uma firma
, que atua em um determinado mercado tendo como concorrente a firma
. A demanda pelo produto da firma
é dada por
, onde
representa o gasto com marketing da firma
e
denota o preço da firma
. O custo de produção da firma
é
. Assim, a função lucro da firma
é dada por:
A firma
escolhe o seu gasto com marketing e o seu preço de forma a maximizar o seu lucro. Com base nessas informações:
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para o problema da firma
.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma
.
(c) (1,0 ponto) Encontre o impacto de um aumento no preço da firma
sobre
e
.
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para o problema da firma
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma
(c) (1,0 ponto) Encontre o impacto de um aumento no preço da firma
Passo 1
O enunciado dá a função lucro da firma
e pede:
(a) as condições de primeira ordem (FOC) em e
;
(b) as condições de segunda ordem (SOS) para garantir máximo;
(c) o efeito de um aumento de sobre as escolhas ótimas
e
.
(a) as condições de primeira ordem (FOC) em
(b) as condições de segunda ordem (SOS) para garantir máximo;
(c) o efeito de um aumento de
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Definindo
,
temos
temos
isto é,
E
Passo 3
As condições de segunda ordem exigem Hessiano negativo definido.
As segundas derivadas são
As segundas derivadas são
Verificamos
e
avaliado nas FOC (usando
dá
).
Passo 4
Para os efeitos de
podemos resolver explicitamente:
de vem
.
Substituindo em obtém-se
de
Substituindo em
e então
Logo
e
.
Resposta
(a)
(b) e
(negativo definido).
(c)
portanto ,
.
(b)
(c)
portanto