(1,0 ponto) Vimos em aula que qualquer função polinomial de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real. Utilizando o Teorema do Valor Intermediário, podemos localizar um intervalo real onde uma raiz de uma função está localizada. Mostre que a função f(x)=3 x^{3}-3 x^{2}-5 x-1 tem uma raiz real entre 2 e 3 . Faça um desenho para ilustrar o seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial f e pede para mostrar que ela tem uma raiz real entre 2 e 3. Informações relevantes:
  • A função é f(x)=3x^{3}-3x^{2}-5x-1.
  • A pergunta explícita: “Mostre que f tem uma raiz real entre 2 e 3.”
    Nada mais foi fornecido. Vou trabalhar com esses dados.

Passo 2

Lição rápida (conceito chave que vamos usar — Teorema do Valor Intermediário):
  • Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função g é contínua em um intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (isto é, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
  • Observação importante: o TVI só garante existência de raiz em [a,b] quando há troca de sinal entre g(a) e g(b). Se g(a) e g(b) têm o mesmo sinal, o TVI não permite concluir que existe raiz nesse intervalo (pode até ter, mas o TVI não garante).
  • Por que podemos aplicar o TVI a polinômios? Porque polinômios são funções contínuas em toda a reta real. Portanto, para qualquer intervalo [a,b] podemos aplicar o TVI se houver troca de sinal.

Passo 3

Vamos calcular f(2) e f(3) explicitamente (essas contas são essenciais para tentar aplicar o TVI em [2,3]).
  • Calcular f(2):
f(2)=3\cdot 2^{3}-3\cdot 2^{2}-5\cdot 2-1.
Agora as contas passo a passo:
2^{3}=8,\quad 3\cdot 8=24,
2^{2}=4,\quad 3\cdot 4=12,
5\cdot 2=10.
Portanto
f(2)=24-12-10-1=1.
Logo f(2)=1>0.
  • Calcular f(3):
f(3)=3\cdot 3^{3}-3\cdot 3^{2}-5\cdot 3-1.
Passo a passo:
3^{3}=27,\quad 3\cdot 27=81,
3^{2}=9,\quad 3\cdot 9=27,
5\cdot 3=15.
Portanto
f(3)=81-27-15-1=38.
Logo f(3)=38>0.

Passo 4

Interpretação do passo anterior usando o TVI:
  • Encontramos f(2)=1 e f(3)=38. Ambos são positivos, então f(2)\cdot f(3)>0. Como não há troca de sinal entre f(2) e f(3), o Teorema do Valor Intermediário NÃO garante que existe uma raiz em (2,3).
  • Conclusão parcial: com os dados dados, não é possível usar o TVI para mostrar que existe uma raiz entre 2 e 3. Na verdade, os valores indicam que nesse intervalo a função não muda de sinal (pelo menos nos extremos), então o enunciado pedindo para mostrar raiz em (2,3) está incorreto se a intenção era usar apenas o TVI.

Passo 5

Como a função é de grau ímpar, sabemos que ela tem pelo menos uma raiz real em \mathbb{R}. Para localizar um intervalo onde aparece a raiz, busquemos um par de pontos onde haja troca de sinal. Testo valores menores:
  • Calcular f(1):
f(1)=3\cdot 1^{3}-3\cdot 1^{2}-5\cdot 1-1=3-3-5-1=-6.
Logo f(1)=-6<0.
  • Já tínhamos f(2)=1>0.
Portanto f(1)\cdot f(2)=-6\cdot 1<0. Há troca de sinal entre 1 e 2. Aplicando o TVI (polinômio contínuo), existe pelo menos um c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=0. Assim podemos garantir uma raiz em (1,2) — isto é algo que o enunciado original (pedindo (2,3)) não conseguia garantir.

Passo 6

Se quisermos aproximar melhor a raiz, podemos fazer avaliações adicionais para estreitar o intervalo:
  • Já calculámos f(1.9). Façamos com passos:
f(1{,}9)=3\cdot(1{,}9)^{3}-3\cdot(1{,}9)^{2}-5\cdot 1{,}9-1.
Cálculo rápido (apenas para localizar):
(1{,}9)^{2}=3{,}61,\quad (1{,}9)^{3}=6{,}859.
3\cdot 6{,}859=20{,}577,\quad 3\cdot 3{,}61=10{,}83,\quad 5\cdot 1{,}9=9{,}5.
f(1{,}9)=20{,}577-10{,}83-9{,}5-1= -0{,}753\quad(\text{aprox.}),
logo negativo.
  • Calcular f(1{,}95):
(1{,}95)^{2}=3{,}8025,\quad (1{,}95)^{3}=7{,}414875,
3\cdot 7{,}414875=22{,}244625,\quad 3\cdot 3{,}8025=11{,}4075,\quad 5\cdot 1{,}95=9{,}75.
f(1{,}95)=22{,}244625-11{,}4075-9{,}75-1=0{,}087125\quad(\text{aprox.}),
logo positivo.
  • Como f(1{,}9)<0 e f(1{,}95)>0, há troca de sinal em (1{,}9,1{,}95). Pelo TVI existe uma raiz c\in(1{,}9,1{,}95). Isso dá uma boa localização aproximada da raiz (próxima de 1{,}94).

Passo 7

Desenho ilustrativo (esquemático) — desenho simples para visualizar a ideia (eixo x horizontal, eixo y vertical). Marco os pontos onde avaliámos a função e indico que a curva cruza o eixo x entre 1{,}9 e 1{,}95.
Eixo y
^
| . (x=3, f(3)=38)
| .
| .
| .
| . (x=2, f(2)=1)
| .
| . <-- curva desce e cruza o eixo x entre 1{,}9 e 1{,}95
| .
| . (x=1, f(1)=-6)
±-----------------------------> eixo x
1 1{,}9 1{,}95 2 3
Comentário do desenho: o gráfico é apenas esquemático para mostrar que em x=1 a função está bem abaixo do eixo x, em x=2 está acima, e entre 1{,}9 e 1{,}95 ocorre o cruzamento do eixo x.

Resposta

Não é possível garantir, pelo Teorema do Valor Intermediário, que f tenha uma raiz em (2,3), porque f(2)=1>0 e f(3)=38>0 (sem troca de sinal).
No entanto, existe pelo menos uma raiz em (1,2) porque f(1)=-6<0 e f(2)=1>0. Aproximação: há uma raiz em (1{,}9,1{,}95) (aprox. 1{,}94).

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