(1,0 ponto) Vimos em aula que qualquer função polinomial de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real. Utilizando o Teorema do Valor Intermediário, podemos localizar um intervalo real onde uma raiz de uma função está localizada. Mostre que a função
tem uma raiz real entre 2 e 3 . Faça um desenho para ilustrar o seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e pede para mostrar que ela tem uma raiz real entre
e
. Informações relevantes:
- A função é
. - A pergunta explícita: “Mostre que
tem uma raiz real entre e .”
Nada mais foi fornecido. Vou trabalhar com esses dados.
Passo 2
Lição rápida (conceito chave que vamos usar — Teorema do Valor Intermediário):
- Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função
é contínua em um intervalo fechado e e têm sinais opostos (isto é, ), então existe pelo menos um tal que . - Observação importante: o TVI só garante existência de raiz em
quando há troca de sinal entre e . Se e têm o mesmo sinal, o TVI não permite concluir que existe raiz nesse intervalo (pode até ter, mas o TVI não garante). - Por que podemos aplicar o TVI a polinômios? Porque polinômios são funções contínuas em toda a reta real. Portanto, para qualquer intervalo
podemos aplicar o TVI se houver troca de sinal.
Passo 3
Vamos calcular
e
explicitamente (essas contas são essenciais para tentar aplicar o TVI em
).
- Calcular
:
Agora as contas passo a passo:
Portanto
Logo
.
- Calcular
:
Passo a passo:
Portanto
Logo
.
Passo 4
Interpretação do passo anterior usando o TVI:
- Encontramos
e . Ambos são positivos, então . Como não há troca de sinal entre e , o Teorema do Valor Intermediário NÃO garante que existe uma raiz em . - Conclusão parcial: com os dados dados, não é possível usar o TVI para mostrar que existe uma raiz entre
e . Na verdade, os valores indicam que nesse intervalo a função não muda de sinal (pelo menos nos extremos), então o enunciado pedindo para mostrar raiz em está incorreto se a intenção era usar apenas o TVI.
Passo 5
Como a função é de grau ímpar, sabemos que ela tem pelo menos uma raiz real em
. Para localizar um intervalo onde aparece a raiz, busquemos um par de pontos onde haja troca de sinal. Testo valores menores:
- Calcular
:
Logo
.
- Já tínhamos
.
Portanto
. Há troca de sinal entre
e
. Aplicando o TVI (polinômio contínuo), existe pelo menos um
tal que
. Assim podemos garantir uma raiz em
— isto é algo que o enunciado original (pedindo
) não conseguia garantir.
Passo 6
Se quisermos aproximar melhor a raiz, podemos fazer avaliações adicionais para estreitar o intervalo:
- Já calculámos
. Façamos com passos:
Cálculo rápido (apenas para localizar):
logo negativo.
- Calcular
:
logo positivo.
- Como
e , há troca de sinal em . Pelo TVI existe uma raiz . Isso dá uma boa localização aproximada da raiz (próxima de ).
Passo 7
Desenho ilustrativo (esquemático) — desenho simples para visualizar a ideia (eixo x horizontal, eixo y vertical). Marco os pontos onde avaliámos a função e indico que a curva cruza o eixo
entre
e
.
Eixo y
^
| . (x=3, f(3)=38)
| .
| .
| .
| . (x=2, f(2)=1)
| .
| . <-- curva desce e cruza o eixo x entre 1{,}9 e 1{,}95
| .
| . (x=1, f(1)=-6)
±-----------------------------> eixo x
1 1{,}9 1{,}95 2 3
^
| . (x=3, f(3)=38)
| .
| .
| .
| . (x=2, f(2)=1)
| .
| . <-- curva desce e cruza o eixo x entre 1{,}9 e 1{,}95
| .
| . (x=1, f(1)=-6)
±-----------------------------> eixo x
1 1{,}9 1{,}95 2 3
Comentário do desenho: o gráfico é apenas esquemático para mostrar que em
a função está bem abaixo do eixo
, em
está acima, e entre
e
ocorre o cruzamento do eixo
.
Resposta
Não é possível garantir, pelo Teorema do Valor Intermediário, que
tenha uma raiz em
, porque
e
(sem troca de sinal).
No entanto, existe pelo menos uma raiz em porque
e
. Aproximação: há uma raiz em
(aprox.
).
No entanto, existe pelo menos uma raiz em