(1.0 ponto) Se
e
, determine a função densidade de
. Qual é a distribuição de
após a transformação?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo
, ou seja, $ X \sim U(0,1) $. A gente precisa encontrar a função densidade de $ Y = \ln(X) $ e descobrir qual é a distribuição de $ Y $ após essa transformação. Para isso, vamos utilizar conceitos de transformação de variáveis aleatórias e cálculo de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ Y = \ln(X) $. Isso é uma transformação onde aplicamos o logaritmo natural na variável $ X $. Como $ X $ está entre 0 e 1, $ Y $ vai resultar em valores negativos, já que o logaritmo de números entre 0 e 1 é negativo.
Passo 3
Agora, para encontrar a função densidade de $ Y $, precisamos usar a fórmula da transformação de variáveis. Se $ Y = g(X) $, então a função densidade de $ Y $ é dada por:
Aqui, $ g^{-1}(y) $ é a função inversa de $ g(X) $. No nosso caso, $ g(X) = \ln(X) $, então a inversa é $ g^{-1}(y) = e^y $.
Passo 4
Sabemos que $ X \sim U(0,1) $, então a função densidade de $ X $ é:
Substituindo na fórmula, temos:
Mas precisamos considerar o intervalo onde $ Y $ está definido. Como $ X \in (0,1) $, então $ Y = \ln(X) $ está em $ (-\infty, 0) $.
Passo 5
Portanto, a função densidade de $ Y $ é:
Isso significa que $ Y $ segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 1 $, mas apenas no intervalo negativo.
Resposta
A função densidade de $ Y $ é $ f_Y(y) = e^y $ para todo $ y < 0 $. Portanto, após a transformação, $ Y $ segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 1 $ no intervalo negativo.