(1.0 ponto) Se X sim U(0,1) e Y=ln (X), determine a função densidade de Y. Qual é a distribuição de Y após a transformação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo X , ou seja, $ X \sim U(0,1) $. A gente precisa encontrar a função densidade de $ Y = \ln(X) $ e descobrir qual é a distribuição de $ Y $ após essa transformação. Para isso, vamos utilizar conceitos de transformação de variáveis aleatórias e cálculo de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ Y = \ln(X) $. Isso é uma transformação onde aplicamos o logaritmo natural na variável $ X $. Como $ X $ está entre 0 e 1, $ Y $ vai resultar em valores negativos, já que o logaritmo de números entre 0 e 1 é negativo.

Passo 3

Agora, para encontrar a função densidade de $ Y $, precisamos usar a fórmula da transformação de variáveis. Se $ Y = g(X) $, então a função densidade de $ Y $ é dada por:
Y
Aqui, $ g^{-1}(y) $ é a função inversa de $ g(X) $. No nosso caso, $ g(X) = \ln(X) $, então a inversa é $ g^{-1}(y) = e^y $.

Passo 4

Sabemos que $ X \sim U(0,1) $, então a função densidade de $ X $ é:
X sim U(0,1) á
Substituindo na fórmula, temos:
X
fX(x) = 1 & se 0 < x < 1 0 & caso contrário
Mas precisamos considerar o intervalo onde $ Y $ está definido. Como $ X \in (0,1) $, então $ Y = \ln(X) $ está em $ (-\infty, 0) $.

Passo 5

Portanto, a função densidade de $ Y $ é:
Y á
Isso significa que $ Y $ segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 1 $, mas apenas no intervalo negativo.

Resposta

A função densidade de $ Y $ é $ f_Y(y) = e^y $ para todo $ y < 0 $. Portanto, após a transformação, $ Y $ segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 1 $ no intervalo negativo.

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