Suponha que você esteja interessado em investigar a associação entre o status de aposentadoria e a doença do coração. Uma preocupação poderia ser a idade dos indivíduos: uma pessoa mais velha tem maior probabilidade de estar aposentada e de ter doença do coração. Em um estudo, 127 vítimas de paradas cardíacas foram emparelhadas com 127 indivíduos saudáveis, com várias características que incluíam a idade; o status da aposentadoria foi verificado para cada indivíduo.
Saudável Parada Cardíaca
Aposentado Não aposentado
Aposentado 27 12 39
Não aposentado 20 68 88
Total 47 80 127
Teste a hipótese nula de que não há associação entre status de aposentadoria e parada cardíaca. Use alpha=0,05.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolver. A gente quer descobrir se existe uma relação entre o status de aposentadoria (Aposentado ou Não aposentado) e a ocorrência de parada cardíaca. Para isso, vamos usar um teste estatístico chamado Teste Qui-Quadrado de Independência, que ajuda a ver se duas variáveis categóricas estão relacionadas. Precisamos dos dados da tabela fornecida e aplicar esse teste para tomar uma decisão baseada no nível de significância alpha = 0,05.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses do teste:
  • Hipótese Nula ( H0): Não há associação entre o status de aposentadoria e a ocorrência de parada cardíaca. Em outras palavras, as duas variáveis são independentes.
  • Hipótese Alternativa ( Ha): Existe uma associação entre o status de aposentadoria e a ocorrência de parada cardíaca. As variáveis são dependentes.

Passo 3

Agora, vamos calcular as frequências esperadas para cada categoria da tabela, assumindo que a hipótese nula seja verdadeira. A fórmula para a frequência esperada é:
Eij = (Total da Linhai) times (Total da Colunaj)Total Geral
Vamos calcular para cada célula:
  1. Aposentado & Saudável:
E11 = 39 times 47127 approx 14,45
  1. Aposentado & Parada Cardíaca:
E12 = 39 times 80127 approx 24,55
  1. Não aposentado & Saudável:
E21 = 88 times 47127 approx 32,55
  1. Não aposentado & Parada Cardíaca:
E22 = 88 times 80127 approx 55,45

Passo 4

Com as frequências observadas (O) e esperadas (E), vamos calcular o valor do teste Qui-Quadrado ( chi^2) usando a fórmula:
chi^2 = sum (O - E)^2E
Vamos calcular para cada célula:
  1. Aposentado & Saudável:
(27 - 14,45)^214,45 approx (12,55)^214,45 approx 10,89
  1. Aposentado & Parada Cardíaca:
(12 - 24,55)^224,55 approx (-12,55)^224,55 approx 6,42
  1. Não aposentado & Saudável:
(20 - 32,55)^232,55 approx (-12,55)^232,55 approx 4,84
  1. Não aposentado & Parada Cardíaca:
(68 - 55,45)^255,45 approx (12,55)^255,45 approx 2,84
Somando tudo:
chi^2 approx 10,89 + 6,42 + 4,84 + 2,84 = 24,99

Passo 5

Agora, vamos comparar o valor calculado do chi^2 com o valor crítico da distribuição Qui-Quadrado para o nível de significância alpha = 0,05 e graus de liberdade ( df). Para uma tabela 2x2, os graus de liberdade são:
df = (número de linhas - 1) times (número de colunas - 1) = (2-1) times (2-1) = 1 úú
Consultando uma tabela de Qui-Quadrado, o valor crítico para df = 1 e alpha = 0,05 é aproximadamente 3,841.
Como nosso valor calculado 24,99 é muito maior que 3,841, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste Qui-Quadrado, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que existe uma associação significativa entre o status de aposentadoria e a ocorrência de parada cardíaca ao nível de significância de 5%.

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