e pede duas coisas: (i) uma definição de função contínua; (ii) determinar os valores de a e b para que f seja contínua (isto é, contínua em todo ponto do domínio). As incógnitas são a e b.]
Passo 2
Definição de função contínua (explicada devagarinho). Dizemos que uma função f é contínua em um ponto x_{0} se três coisas acontecem:
f(x_{0}) está definido (a função tem valor em x_{0});
o limite \lim_{x\to x_{0}} f(x) existe;
esse limite é igual ao valor da função: \lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0}).
Em palavras: não pode haver “pulo” nem “buraco” no ponto — ao chegar arbitrariamente perto de x_{0} pelos dois lados, os valores de f(x) se aproximam exatamente de f(x_{0}).
Passo 3
Observação útil sobre as partes da função. Para x<1 e para x>1 temos expressões algébricas simples:
Para x>1, f(x)=bx+3 é uma função afim (reta), e retas são contínuas para todo x.
Para x<1, f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}+a. Essa expressão é uma razão de polinômios, mas como veremos ela se simplifica para uma função polinomial em todo ponto com x\neq1, logo é contínua em cada x<1.
Portanto, possíveis problemas de continuidade só podem ocorrer em x=1. Fora de x=1, cada ramo é contínuo no seu interior.
Passo 4
Calcular o limite à esquerda em x=1. Para x\neq1 pode-se fatorar o numerador:
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
logo, para x\neq1,
\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1.
Assim, ao aproximar x de 1 pela esquerda (ou pela direita, desde que x\neq1), a expressão \dfrac{x^{2}-1}{x-1} tende a 1+1=2. Portanto o limite pela esquerda é
Expliquei: primeiro simplificou-se a fração para x+1, depois substituiu-se x\to1.
Passo 5
Calcular o limite à direita em x=1. Para x>1 temos f(x)=bx+3. Como retas são contínuas,
\lim_{x\to1^+} (b x+3)=b\cdot 1+3=b+3.
Passo 6
Impor continuidade em x=1. O valor da função em x=1 é f(1)=3. Para f ser contínua em 1 precisamos que os limites lateral esquerdo e direito existam e sejam iguais a f(1). Portanto exigimos:
\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x).
Substituindo os resultados:
2+a=3 \quad\text{e}\quad b+3=3.
Resolver cada equação:
2+a=3 \implies a=1,
b+3=3 \implies b=0.
Passo 7
Verificação rápida e conclusão final. Com a=1 o ramo à esquerda fica \dfrac{x^{2}-1}{x-1}+1=x+1+1=x+2 para x\neq1, que tende a 2+1=3 ao x\to1. Com b=0 o ramo à direita fica 0\cdot x+3=3, que também tende a 3. Portanto não há salto: os limites laterais e o valor em 1 coincidem, garantindo continuidade em x=1. Como os outros pontos já eram contínuos, a função fica contínua em todo o domínio.