(2,0 pontos): A 25^circ C um anel de alumínio tem diâmetro interno de 5,000 cm e uma haste de bronze tem diâmetro de 5,010 cm. Os coeficientes de dilatação são: alphaAl=22,9 times 10^-6 ^circ C^-1; a Bronze =17,5 times 10^-6 ^circ C^-1
b) (1,0) Se somente a haste for resfriada, qual temperatura ela deve alcançar para que o anel se encaixe na haste?

Passo 1

O enunciado diz que temos um anel de alumínio com diâmetro interno de 5,000 cm a 25 °C e uma haste de bronze com diâmetro de 5,010 cm também a 25 °C. Queremos saber até que temperatura (abaixo de 25 °C) devemos resfriar só a haste de bronze para que seu diâmetro se reduza o suficiente e ela passe pelo anel.
Conteúdo: dilatação térmica linear.
O que precisamos: a fórmula que relaciona a variação de comprimento (aqui diâmetro) com a temperatura e o coeficiente de dilatação linear .

Passo 2

A teoria diz que, quando a temperatura muda, um comprimento d(T) = d0l[1 + alpha,(T - T0)r] (ou diâmetro ) varia segundo
onde
  • é o diâmetro inicial (aqui 5,010 cm),
  • é o coeficiente de dilatação linear do material (para bronze, ),
  • é a temperatura inicial (25 °C),
  • é a nova temperatura.

Passo 3

Para a haste caber no anel, a gente quer que o novo diâmetro dela seja igual ou menor que 5,000 cm. Vamos igualar:
5,000 = 5,010l[1 + alpharm bronze,(T - 25)r]
Isolando 1 + alpharm bronze,(T - 25) = 5,0005,010 Longrightarrow alpharm bronze,(T - 25) = 5,0005,010 - 1 :

Passo 4

Calculemos numericamente:
5,0005,010 - 1 = -0,0105,010 approx -1,996times10^-3
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T - 25 = -1,996times10^-317,5times10^-6 approx -114,06;° C
e, portanto,
T approx 25 - 114,06 = -89,06;° C

Resposta

A haste deve ser resfriada até aproximadamente .

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