(2,0 pontos) Um afinador de piano estica a corda de aço de um piano com urna tensão de 660 N O comprimento da corda é 42,0 cm e sua massa é 3,00 g.
(a) Qual é a frequência fundamental de oscilação nessa corda?
(b) Qual é o comprimento de onda do som produzido pela corda oscilando na frequência fundamental?
(c) Qual é a ordem do maior harmônico que pode ser ouvido por uma pessoa que pode ouvir frequências até 22 KHz ?
(d) Faça um gráfico de ondas estacionários das frequências fundamental e o harmônico da (c). Velocidade de som no ar é 343 m / s.

Passo 1

O enunciado fala de uma corda de piano de comprimento L=0,420 m, massa m=0,00300 kg e tensão T=660 N. Precisamos encontrar
– (a) a frequência fundamental f1 da corda vibrante;
– (b) o comprimento de onda lambda do som no ar associado a essa frequência;
– (c) o maior harmônico (número inteiro n) tal que n f1<=22,0 kHz;
– (d) um esboço das ondas estacionárias no modo fundamental ( n=1) e no modo n da letra (c).
Conteúdo: ondas estacionárias em cordas, relação entre tensão, densidade linear, velocidade de onda, harmônicos e conversão para som no ar.

Passo 2

Primeiro calculamos a densidade linear de massa da corda
mu = mL = 0,003000,420approx0,007143 kg/m,
e a velocidade da onda na corda
v = raizTmu = raiz6600,007143approx303,97 m/s
A frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades é
f1 = v2L = 303,972cdot0,420approx361,9 Hz

Passo 3

O som produzido tem essa frequência f1 e propaga-se no ar à velocidade var=343 m/s. O comprimento de onda no ar é
lambda = varf1 = 343361,9approx0,948 m

Passo 4

O n-ésimo harmônico tem frequência fn = n,f1. Queremos o maior n tal que fn<=22,0 kHz:
nmax = lfloor22,000361,9rfloor approxlfloor60,80rfloor = 60

Passo 5

A forma de uma onda estacionária em t=0 é
yn(x)=A,sin!l(npi x/Lr)
– Para o modo fundamental ( n=1):
y1(x)=Asin!l(pi x/Lr),
com um único ventre em x=L/2 e nós em x=0,L. Esboço qualitativo (eixo horizontal xin[0,L], vertical y):
fundamental:
\quad /\
\quad / \
\quad / \
\quad __/ \
\quad 0 L/2 L
– Para o 60º harmônico ( n=60):
y60(x)=Asin!l(60,pi x/Lr),
com 60 meias-ondas ao longo de L, ou seja nós em
x = k,L60, k=0,1,2,dots,60
Esboço muito condensado (só indicando muitas oscilações):
60º harmônico:
\quad ~~/////////////~
\quad 0 L\quad ( 60 meias-ondas)

Resposta

(a) f1approx361,9 Hz
(b) lambdaapprox0,948 m
(c) nmax=60
(d)
– Fundamental ( n=1): y1(x)=Asin(pi x/L), uma meia-onda inteira entre x=0 e x=L.
60º harmônico ( n=60): y60(x)=Asin(60pi x/L), com 60 meias-ondas e nós em x=kL/60.

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