( 3,0 pontos) Um bloco de 8,00 kg é conectado a uma mola e colocado sobre uma superfície horizontal lisa. É preciso aplicar uma força horizontal de 50,0 N para manter o bloco em repouso quando ele é puxado 0,250 m de sua posição de equilíbrio. O bloco é solto, com velocidade nula, a partir deste ponto. Encontre
(a) A constante de elasticidade da mola. (b) A frequência das oscilações, e
(c) A velocidade máxima do bloco. (d) Encontre a aceleração máxima do bloco.
(e) Calcule a energia total do sistema oscilante.
(f) posição onde acontecem velocidade e aceleração máxima.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=8,00,kg preso a uma mola e apoiado em superfície horizontal sem atrito. Para mantê-lo em repouso a uma distância A=0,250,m da posição de equilíbrio, aplica-se uma força horizontal constante F=50,0,N. Em seguida o bloco é solto a partir dessa posição com velocidade nula, executando oscilações harmônicas simples (MHS). Para resolver, vamos precisar de:
  1. Lei de Hooke ( F=kx) para achar a constante elástica k.
  2. Fórmulas de MHS: omega=raizk/m, f=omega/(2pi), velocidade máxima vmax=Aomega e aceleração máxima amax=Aomega^2.
  3. Energia total do sistema E=tfrac12,kA^2.
  4. Conhecer que em MHS a velocidade máxima ocorre em x=0 e a aceleração máxima em |x|=A.

Passo 2

Aplicamos a lei de Hooke no equilíbrio estático da posição deslocada x=A:
F = k,A
Isolando k, temos
k = FA = 50,00,250 = 200,0;N/m

Passo 3

A frequência angular de um MHS é
omega = raizkm = raiz200,08,00 = raiz25,0 = 5,00;rad/s
A frequência de oscilação é
f = omega2pi = 5,002pi approx 0,796;Hz

Passo 4

A velocidade máxima em MHS ocorre passando pela posição de equilíbrio e vale
vmax = A,omega = 0,250 times 5,00 = 1,25;m/s

Passo 5

A aceleração máxima ocorre nos extremos ( x=pm A) e é
amax = A,omega^2 = 0,250 times (5,00)^2 = 0,250 times 25,0 = 6,25;m/s^2

Passo 6

A energia total do oscilador é igual à energia potencial máxima na elongação A:
E = tfrac12,k,A^2 = tfrac12 times 200,0 times (0,250)^2 = 100,0 times 0,0625 = 6,25;J

Passo 7

Em MHS sabe-se que:
  • A velocidade é máxima em x=0.
  • A aceleração (força restauradora) é máxima em |x|=A.

Resposta

(a) k = 200,0;N/m
(b) f = 0,796;Hz
(c) vmax = 1,25;m/s
(d) amax = 6,25;m/s^2
(e) E = 6,25;J
(f) vmax em x=0; amax em x=pm0,250;m

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