Imagine que um reator nuclear térmico precise ser construído com o formato de um cilindro circular reto, com raio R e altura H. De acordo com a teoria da difusão de nêutrons, existe uma limitação imposta à geometria desse reator, expressa pela seguinte equação:
Phi(R, H)=(2,4048R)^2+(piH)^2=K,
onde K é uma constante determinada pelas características físicas do sistema.
Dado esse vínculo entre R e H, deseja-se encontrar a relação entre essas duas variáveis que leve à minimização do volume do reator, cujo valor é dado por:
f(R, H)=pi R^2 H
Qual deve ser a proporção ideal entre raio e altura para que esse volume seja o menor possível, respeitando a restrição imposta pela equação da difusão?

Passo 1

O enunciado pede para minimizar o volume de um cilindro
f(R,H)=pi R^2H
sujeito ao vínculo da teoria da difusão de nêutrons
Phi(R,H)=l(2,4048Rr)^2+l(piHr)^2=K,
onde K é constante. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(R,H,lambda)=pi R^2H ;-;lambdal[l(tfrac2,4048Rr)^2+l(tfracpiHr)^2-Kr]
A condição de ótimo interno exige
nablaR,H,lambdaL=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partialLpartial R=2pi R,H ;-;lambdal[-2(2,4048)^2R^-3r]=0,
partialLpartial H=pi R^2;-;lambdal[-2pi^2H^-3r]=0
Isolando lambda em cada equação, obtemos
lambda = -pi H,R^4(2,4048)^2, lambda = -R^2H^32pi

Passo 4

Igualando as duas expressões de lambda e simplificando, vem
pi H,R^4(2,4048)^2 = R^2H^32pi Longrightarrow 2pi^2R^2 = (2,4048)^2H^2

Passo 5

Dessa relação segue
R^2H^2 = (2,4048)^22pi^2 Longrightarrow RH = 2,4048piraiz2approx0,5413

Resposta

A proporção ideal é
RH = 2,4048piraiz2approx0,5413

Exercícios relacionados