Imagine que um reator nuclear térmico precise ser construído com o formato de um cilindro circular reto, com raio
e altura
. De acordo com a teoria da difusão de nêutrons, existe uma limitação imposta à geometria desse reator, expressa pela seguinte equação:
onde
é uma constante determinada pelas características físicas do sistema.
Dado esse vínculo entre
e
, deseja-se encontrar a relação entre essas duas variáveis que leve à minimização do volume do reator, cujo valor é dado por:
Qual deve ser a proporção ideal entre raio e altura para que esse volume seja o menor possível, respeitando a restrição imposta pela equação da difusão?
Dado esse vínculo entre
Passo 1
O enunciado pede para minimizar o volume de um cilindro
sujeito ao vínculo da teoria da difusão de nêutrons
onde
é constante. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
A condição de ótimo interno exige
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Isolando
em cada equação, obtemos
Passo 4
Igualando as duas expressões de
e simplificando, vem
Passo 5
Dessa relação segue
Resposta
A proporção ideal é