(6 pontos) Um agricultor investe
20.000,00
6 %
M(t)
\frac{d M}{d t}=0,06 M$, é a equação que descreve este fenômeno, determine o valor do montante em 5 anos?
Boa avaliação.
Passo 1
O enunciado dá um investimento inicial de
reais e diz que o montante
satisfaz a equação diferencial
Isso caracteriza um crescimento exponencial composto à taxa de
ao ano. Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 2
Observamos que a EDO
é de primeira ordem, linear e separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolvê-la.
Passo 3
Separamos variáveis e integramos:
Isso dá
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Exponentiando ambos os lados, obtemos a solução geral
onde
. Como
, concluímos
Passo 5
Para achar o montante em
anos, calculamos
Passo 6
Usando a aproximação
, temos
Resposta
O montante após
anos é aproximadamente R$
.