(6 pontos) Um agricultor investe R 20.000,00 na compra de equipamentos, com capital rendendo juros compostos á taxa de á6 % ao ano Sabendo que M(t) é o montante em anos, e que é\frac{d M}{d t}=0,06 M$, é a equação que descreve este fenômeno, determine o valor do montante em 5 anos?
Boa avaliação.

Passo 1

O enunciado dá um investimento inicial de M(0)=20000 reais e diz que o montante M(t) satisfaz a equação diferencial
dMdt=0,06,M
Isso caracteriza um crescimento exponencial composto à taxa de 6% ao ano. Nosso objetivo é encontrar M(5).

Passo 2

Observamos que a EDO
dMdt=0,06,M
é de primeira ordem, linear e separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolvê-la.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos:
integral 1M,dM = integral 0,06,dt
Isso dá
lnlvert Mrvert = 0,06,t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponentiando ambos os lados, obtemos a solução geral
M(t)=e^0,06,t + C=C',e^0,06,t,
onde C'=e^C. Como M(0)=C',e^0=20000, concluímos
C'=20000 Longrightarrow M(t)=20000,e^0,06,t

Passo 5

Para achar o montante em t=5 anos, calculamos
M(5)=20000,e^0,06cdot5=20000,e^0,3

Passo 6

Usando a aproximação e^0,3approx1,34986, temos
M(5)approx20000times1,34986approx26997,2 reais

Resposta

O montante após 5 anos é aproximadamente R$ 26997,20.

Exercícios relacionados