(7 pontos) Na agroindústria, o leite é armazenado em tanques resfriadores. Supondo que o leite a 35^circ C é colocado em um tanque a 5^circ C, e que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o leite e ambiente do tanque, constante de proporcionalidade igual a -0,1 (pois o leite está perdendo calor).
a) Encontre a equação diferencial que descreve este fenômeno.
b) Qual será a temperatura do leite em 10 minutos?

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento do leite segundo a lei de Newton, ou seja, a taxa de variação da temperatura do leite é proporcional à diferença entre sua temperatura T(t) e a temperatura do tanque, que é 5^circC. A constante de proporcionalidade é -0,1 (em min^-1). Vamos:
  1. Formular a equação diferencial.
  2. Resolver a EDO e aplicar a condição inicial T(0)=35^circC.
  3. Calcular T(10).

Passo 2

A lei de Newton do resfriamento diz que
dTdtpropto T(t)-Tamb
Como Tamb=5^circC e a constante é -0,1, a equação diferencial é
dTdt = -0,1,(T - 5)

Passo 3

Vamos separar variáveis e integrar:
dTT-5 = -,0,1,dt
Integrando ambos os lados, obtemos
lnlvert T - 5rvert = -0,1,t + C1
Exponentiando,
T - 5 = C,e^-0,1,t
onde C = e^C1.

Passo 4

Usando a condição inicial T(0)=35^circC, temos
35 - 5 = C Longrightarrow C = 30
Assim a solução particular é
T(t) = 5 + 30,e^-0,1,t

Passo 5

Para t=10 minutos,
T(10) = 5 + 30,e^-0,1cdot 10 = 5 + 30,e^-1 approx 5 + 30e approx 16,04^circC

Resposta

(a) dTdt = -0,1,(T - 5)
(b) T(10)approx 16,04^circC

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