(7 pontos) Na agroindústria, o leite é armazenado em tanques resfriadores. Supondo que o leite a
é colocado em um tanque a
, e que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o leite e ambiente do tanque, constante de proporcionalidade igual a
(pois o leite está perdendo calor).
a) Encontre a equação diferencial que descreve este fenômeno.
b) Qual será a temperatura do leite em 10 minutos?
a) Encontre a equação diferencial que descreve este fenômeno.
b) Qual será a temperatura do leite em 10 minutos?
Passo 1
O enunciado trata do resfriamento do leite segundo a lei de Newton, ou seja, a taxa de variação da temperatura do leite é proporcional à diferença entre sua temperatura
e a temperatura do tanque, que é
. A constante de proporcionalidade é
(em
). Vamos:
- Formular a equação diferencial.
- Resolver a EDO e aplicar a condição inicial
. - Calcular
.
Passo 2
A lei de Newton do resfriamento diz que
Como
e a constante é
, a equação diferencial é
Passo 3
Vamos separar variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados, obtemos
Exponentiando,
onde
.
Passo 4
Usando a condição inicial
, temos
Assim a solução particular é
Passo 5
Para
minutos,
Resposta
(a)
(b)
(b)