Determine os pontos onde a função
f(x, y)= 3 x^2 yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
é contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= dfrac3x^2yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede os pontos em que f é contínua. O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis: precisamos checar que o limite coincide com o valor da função em cada ponto.]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), a expressão tfrac3x^2yx^2+y^2 é quociente de polinômios e o denominador x^2+y^2 aí é não nulo. Logo, por ser composição de funções contínuas, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Para isso, consideramos (x,y)to(0,0) em coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta, rto0^+
Então, para (x,y)neq(0,0),
f(rcostheta,rsintheta) =3,(rcostheta)^2,(rsintheta)(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 =3r^3cos^2thetasinthetar^2 =3rcos^2thetasintheta
Como l|cos^2thetasinthetar|<=1, temos
l|f(rcostheta,rsintheta)r|<=3r;xrightarrow[rto0];0
Portanto lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), mostrando que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo o plano R^2.

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