Uma barra metálica está sendo resfriada. Na sua face esquerda ( x=0 ), ela está em contato com um fluido a T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente de convecção h . Na face direita, ela está perfeitamente isolada com uma camada de amianto. Escreva as equações das condições de contorno para ambas as faces.

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede as condições de contorno:
  • A barra metálica tem a face esquerda em x=0 em contato com um fluido à temperatura \,T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}\, com coeficiente de convecção h.
  • A face direita está perfeitamente isolada (camada de amianto). Vou chamar a posição da face direita de x=L (o enunciado não deu L, então mantenho L genérico).
  • O que é pedido: escrever as equações das condições de contorno nas duas faces (em x=0 e em x=L).

Passo 2

Defino as incógnitas e constantes que vou usar (cada símbolo explicado):
  • T(x,t) é a temperatura na barra no ponto x e instante t.
  • k é a condutividade térmica do metal (unidades: \mathrm{W/(m\cdot K)}).
  • h é o coeficiente de convecção na face x=0 (unidades: \mathrm{W/(m^2\cdot K)}).
  • T_{\infty} é a temperatura do fluido longe da superfície, aqui \,T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}\,.
  • A derivada espacial \partial T/\partial x mede o gradiente de temperatura ao longo da barra.

Passo 3

Relembre a lei de Fourier (fluxo de calor por condução):
  • A densidade de fluxo de calor por condução na direção x é dada por Fourier:
q_x = -k\,\frac{\partial T}{\partial x},
onde q_x tem sinal positivo quando o calor flui no sentido positivo de x. A presença do sinal negativo indica que o calor flui do quente para o frio (onde a inclinação \partial T/\partial x é negativa o fluxo é positivo).

Passo 4

Relembre a lei de Newton do resfriamento (convecção na superfície):
  • A taxa de calor por unidade de área transferida do sólido para o fluido por convecção é
q_{\text{conv}} = h\bigl(T_s - T_{\infty}\bigr),
onde T_s é a temperatura da superfície do sólido. Se T_s>T_{\infty} então q_{\text{conv}}>0 (calor saindo do sólido para o fluido).

Passo 5

Montagem da condição de contorno em x=0 (face em contato com o fluido):
  • A potência por unidade de área que sai do sólido pela condução na superfície x=0 (fluxo de condução na superfície para fora do sólido) deve ser igual à potência por unidade de área removida por convecção para o fluido. Pelo sinal de Fourier, o fluxo por condução que sai do sólido em x=0 é -k\left.\dfrac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0}.
  • Igualando condução e convecção obtemos a condição de contorno convectiva:
-\,k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0}=h\bigl(T(0,t)-T_{\infty}\bigr).
  • Observação física: se T(0,t)>T_{\infty} então o lado direito é positivo e a derivada no lado esquerdo será negativa (temperatura decresce para a direita), coerente com perda de calor para o fluido.

Passo 6

Montagem da condição de contorno em x=L (face perfeitamente isolada):
  • “Perfeitamente isolada” significa que não há troca de calor através dessa face, isto é, o fluxo de calor por condução através de x=L é zero.
  • Pelo mesmo Fourier, isso dá
-\,k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L}=0.
  • Como k\neq 0 normalmente, uma forma equivalente e mais usual é escrever
\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L}=0,
que diz que o gradiente de temperatura é nulo na face isolada (condição de Neumann homogenea).

Passo 7

Resumo, unidades e interpretação rápida:
  • A condição em x=0 liga o gradiente espacial \partial T/\partial x à diferença de temperatura entre superfície e fluido através de h. Tem unidades de \mathrm{W/m^2} dos dois lados.
  • A condição em x=L impõe fluxo nulo e implica simetria local ou extremum de T na superfície (derivada nula).
  • Essas condições são as que se usam ao resolver a equação do calor unidimensional para a barra: elas fornecem as restrições nas duas extremidades para determinar T(x,t).

Resposta

-\,k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0}=h\bigl(T(0,t)-T_{\infty}\bigr)
\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L}=0

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