Em um reator químico cilíndrico, ocorre uma reação exotérmica que gera calor uniformemente a uma taxa de q^{\prime \prime \prime}=5000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. O reator opera em regime estacionário. Se a taxa de calor que entra pelas superfícies é zero ( \mathrm{Ee}=0 ), determine a taxa total de calor que deve ser removida pelas paredes (Es) para manter a temperatura constante, sabendo que o volume do reator é de 2 \mathrm{~m}^{3}.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • Dado: taxa de geração volumétrica de calor \displaystyle q^{\prime\prime\prime}=5000\\ \mathrm{W/m^{3}}.
  • Dado: volume do reator \displaystyle V=2\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Dado: operação em regime estacionário (estado estacionário).
  • Dado: taxa de calor que entra pelas superfícies é zero: \displaystyle E_e=0.
  • Pedido: determinar a taxa total de calor que deve ser removida pelas paredes, \displaystyle E_s, para manter a temperatura constante.

Passo 2

Entendendo a conservação de energia (balanço de energia) no regime estacionário e os termos envolvidos.
  • Em regime estacionário, a energia interna não muda com o tempo, logo a taxa de variação de energia acumulada é zero. Isso nos dá o balanço:
0 = \text{(taxa de calor entrando)} + \text{(taxa de geração interna)} - \text{(taxa de calor saindo)}.çã
  • Em notação do problema:
0 = E_e + \dot{Q}_{\text{gen}} - E_s.
Aqui:
  • \displaystyle E_e é a taxa de calor que entra pelas superfícies (dada como zero).
  • \displaystyle \dot{Q}_{\text{gen}} é a taxa total de calor gerada dentro do volume (por unidade de tempo).
  • \displaystyle E_s é a taxa de calor que sai/removida pelas paredes (o que queremos encontrar).
  • Observação sobre \displaystyle \dot{Q}_{\text{gen}}: quando a geração é uniforme por volume, a taxa total gerada é o produto da geração volumétrica pelo volume:
\dot{Q}_{\text{gen}} = q^{\prime\prime\prime} \cdot V.
Explicação curta e intuitiva: q^{\prime\prime\prime} diz quantos watts são gerados em cada metro cúbico; multiplicando pelo número de metros cúbicos obtemos os watts totais gerados.

Passo 3

Calcular a taxa total de calor gerada no reator usando a fórmula acima.
  • Substituindo os dados:
\dot{Q}_{\text{gen}} = q^{\prime\prime\prime}\cdot V = 5000\\ \mathrm{W/m^{3}} \cdot 2\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Fazendo a multiplicação:
\dot{Q}_{\text{gen}} = 5000 \cdot 2 = 10000\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Usar o balanço de energia para obter \displaystyle E_s.
  • Partindo do balanço em regime estacionário:
0 = E_e + \dot{Q}_{\text{gen}} - E_s.
  • Como \displaystyle E_e=0, temos:
0 = 0 + \dot{Q}_{\text{gen}} - E_s \quad\Rightarrow\quad E_s = \dot{Q}_{\text{gen}}.
  • Substituindo o valor calculado:
E_s = 10000\\ \mathrm{W}.
Interpretação: é preciso remover \displaystyle 10000\\ \mathrm{W} pelas paredes para manter temperatura constante (esse valor é a potência térmica que deve ser retirada continuamente).

Passo 5

Verificação rápida de unidades e coerência física.
  • Unidades: \displaystyle q^{\prime\prime\prime} em \mathrm{W/m^{3}} vezes \mathrm{m^{3}} \mathrm{W} — unidade correta para potência (taxa de calor).
  • Sentido físico: toda a energia gerada internamente deve ser evacuada pelas paredes se nada entra ( E_e=0) e não há acúmulo — consistente.

Resposta

E_s = 10000\\ \mathrm{W}

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