( 2,0 pontos) A água se desloca com uma velocidade de
através de um cano com uma área de seção transversal de
. A água desce 10 m gradualmente, enquanto a área do cano aumenta para
.
a) Qual é a velocidade do escoamento no nível mais baixo?
b) Se a pressão no nível mais alto for
, qual será a pressão no nível mais baixo?
a) Qual é a velocidade do escoamento no nível mais baixo?
b) Se a pressão no nível mais alto for
Passo 1
Listando claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (vou apenas organizar os dados; não vou resolver ainda).
Dados fornecidos:
- Velocidade no nível mais alto:
. - Área da seção no nível mais alto:
. - Área da seção no nível mais baixo:
. - A água desce verticalmente
entre os dois níveis (diferença de altura). - Pressão no nível mais alto:
.
O enunciado pede:
a) A velocidade do escoamento no nível mais baixo (ou seja, encontrar ).
b) A pressão no nível mais baixo (ou seja, encontrar ).
a) A velocidade do escoamento no nível mais baixo (ou seja, encontrar
b) A pressão no nível mais baixo (ou seja, encontrar
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar todas as grandezas nas mesmas unidades. As áreas em
precisam ir para
.
Conversão:
Portanto:
Passo 3
Achar
usando conservação de massa para um fluido incompressível (equação da continuidade).
Explicando a ideia: para água (incompressível) e escoamento estacionário, a quantidade de volume de água que passa por qualquer seção por unidade de tempo é a mesma. Essa vazão volumétrica
é definida por
, onde:
-
é a área da seção transversal ( ), -
é a velocidade média do fluido nessa seção ( ).
Logo, entre as duas seções vale:
Despejando
:
Agora substituo os valores (usei as áreas convertidas no Passo 2):
Calculo:
Portanto:
Comentário rápido: como a área aumentou (de
para
), a velocidade diminuiu, o que faz sentido fisicamente.
Passo 4
Agora vamos achar
. A ferramenta certa aqui é a equação de Bernoulli para um fluido incompressível, sem atrito, ao longo de uma mesma linha de corrente e em regime estacionário.
Explicando a fórmula (aula curta): Bernoulli diz que a soma da pressão estática, da energia cinética por unidade de volume e da energia potencial por unidade de volume é constante ao longo da linha:
onde:
-
é a pressão (Pa), -
é a densidade do fluido ( ); para água toma-se a menos que peçam outro valor, -
é a velocidade ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), tomaremos , -
é a cota vertical (m).
Aplicando Bernoulli entre o ponto alto (1) e o ponto baixo (2):
Queremos
; isolando
:
Passo 5
Identificando a diferença de altura: o enunciado diz que a água “desce 10 m”, ou seja:
Também já temos
e
(do Passo 3). Escolho
e
. Substituindo na expressão para
:
Passo 6
Faço a conta passo a passo:
Primeiro o termo cinético:
Agora o termo gravitacional:
Somando os dois acréscimos:
Agora adiciono
:
Escrevendo em notação científica:
Passo 7
Interpretação rápida e checagem: a pressão no ponto mais baixo é maior que a do ponto mais alto, o que faz sentido — ao descer a coluna de água há ganho de pressão devido à diferença de coluna mais o pequeno ajuste por mudança de energia cinética (neste caso o termo gravitacional domina). Números fazem sentido e unidades conferem.