( 2,0 pontos) A água se desloca com uma velocidade de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} através de um cano com uma área de seção transversal de 4 \mathrm{~cm}^{2}. A água desce 10 m gradualmente, enquanto a área do cano aumenta para 6 \mathrm{~cm}^{2}.
a) Qual é a velocidade do escoamento no nível mais baixo?
b) Se a pressão no nível mais alto for 1,5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}, qual será a pressão no nível mais baixo?

Passo 1

Listando claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (vou apenas organizar os dados; não vou resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • Velocidade no nível mais alto: v_1 = 6\\ \mathrm{m/s}.
  • Área da seção no nível mais alto: A_1 = 4\\ \mathrm{cm}^2.
  • Área da seção no nível mais baixo: A_2 = 6\\ \mathrm{cm}^2.
  • A água desce verticalmente 10\\ \mathrm{m} entre os dois níveis (diferença de altura).
  • Pressão no nível mais alto: p_1 = 1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
O enunciado pede:
a) A velocidade do escoamento no nível mais baixo (ou seja, encontrar v_2).
b) A pressão no nível mais baixo (ou seja, encontrar p_2).

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar todas as grandezas nas mesmas unidades. As áreas em \mathrm{cm}^2 precisam ir para \mathrm{m}^2.
Conversão:
1\\ \mathrm{cm}^2 = 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Portanto:
A_1 = 4\\ \mathrm{cm}^2 = 4\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2, \qquad A_2 = 6\\ \mathrm{cm}^2 = 6\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Achar v_2 usando conservação de massa para um fluido incompressível (equação da continuidade).
Explicando a ideia: para água (incompressível) e escoamento estacionário, a quantidade de volume de água que passa por qualquer seção por unidade de tempo é a mesma. Essa vazão volumétrica Q é definida por Q = A\cdot v, onde:
  • A é a área da seção transversal ( \mathrm{m}^2),
  • v é a velocidade média do fluido nessa seção ( \mathrm{m/s}).
Logo, entre as duas seções vale:
A_1 v_1 = A_2 v_2.
Despejando v_2:
v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1.
Agora substituo os valores (usei as áreas convertidas no Passo 2):
v_2 = \frac{4\times10^{-4}}{6\times10^{-4}}\times 6\\ \mathrm{m/s} = \frac{4}{6}\times 6\\ \mathrm{m/s}.
Calculo:
\frac{4}{6}\times 6 = \frac{4}{6}\cdot 6 = 4.
Portanto:
v_2 = 4\\ \mathrm{m/s}.
Comentário rápido: como a área aumentou (de 4 para 6\\ \mathrm{cm}^2), a velocidade diminuiu, o que faz sentido fisicamente.

Passo 4

Agora vamos achar p_2. A ferramenta certa aqui é a equação de Bernoulli para um fluido incompressível, sem atrito, ao longo de uma mesma linha de corrente e em regime estacionário.
Explicando a fórmula (aula curta): Bernoulli diz que a soma da pressão estática, da energia cinética por unidade de volume e da energia potencial por unidade de volume é constante ao longo da linha:
p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g y = \text{constante},
onde:
  • p é a pressão (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m}^3); para água toma-se \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3 a menos que peçam outro valor,
  • v é a velocidade ( \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s}^2), tomaremos g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s}^2,
  • y é a cota vertical (m).
Aplicando Bernoulli entre o ponto alto (1) e o ponto baixo (2):
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g y_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g y_2.
Queremos p_2; isolando p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) + \rho g\left(y_1 - y_2\right).

Passo 5

Identificando a diferença de altura: o enunciado diz que a água “desce 10 m”, ou seja:
y_1 - y_2 = 10\\ \mathrm{m}.
Também já temos v_1 = 6\\ \mathrm{m/s} e v_2 = 4\\ \mathrm{m/s} (do Passo 3). Escolho \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3 e g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s}^2. Substituindo na expressão para p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\cdot 1000\left(6^2 - 4^2\right) + 1000\cdot 9{,}8 \cdot 10.

Passo 6

Faço a conta passo a passo:
Primeiro o termo cinético:
6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20.
\tfrac{1}{2}\cdot 1000 \cdot 20 = 0{,}5\cdot1000\cdot20 = 10{,}000\\ \mathrm{Pa}.
Agora o termo gravitacional:
1000\cdot 9{,}8 \cdot 10 = 1000\cdot 98 = 98{,}000\\ \mathrm{Pa}.
Somando os dois acréscimos:
10{,}000 + 98{,}000 = 108{,}000\\ \mathrm{Pa}.
Agora adiciono p_1 = 1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 150{,}000\\ \mathrm{Pa}:
p_2 = 150{,}000 + 108{,}000 = 258{,}000\\ \mathrm{Pa}.
Escrevendo em notação científica:
p_2 = 2{,}58\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem: a pressão no ponto mais baixo é maior que a do ponto mais alto, o que faz sentido — ao descer a coluna de água há ganho de pressão devido à diferença de coluna mais o pequeno ajuste por mudança de energia cinética (neste caso o termo gravitacional domina). Números fazem sentido e unidades conferem.

Resposta

v_2 = 4\\ \mathrm{m/s}
p_2 = 2{,}58\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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