(2,0 pontos) Calcule a força de atração gravitacional entrelduas esferas de chumbo de raio 50 cm e de raio 60 cm , encostadas. Densidade do chumbo é \rho=11340 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{G}, \mathrm{G}=6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} Dica: considere uma esfera encostada na outra.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a força de atração gravitacional entre duas esferas de chumbo que estão encostadas. Dados fornecidos:
  • raios: R_1=50\\ \text{cm} e R_2=60\\ \text{cm} (vou converter para metros);
  • densidade do chumbo: \rho=11340\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (fornecido);
  • constante gravitacional: G=6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2 (fornecido).
    O que se pede: calcular a força gravitacional F entre as duas esferas quando estão encostadas.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: a lei da gravitação universal de Newton, que diz que a força entre duas massas m_1 e m_2 separadas por distância entre centros r é
F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}.
Aqui:
  • G é a constante gravitacional (dada);
  • m_1,\\ m_2 são as massas das esferas;
  • r é a distância entre os centros. Como as esferas estão encostadas, a distância entre centros é a soma dos raios:
r = R_1 + R_2.

Passo 3

Converter raios para metros e calcular r:
R_1 = 50\\ \text{cm} = 0{,}50\\ \mathrm{m},\qquad R_2 = 60\\ \text{cm} = 0{,}60\\ \mathrm{m},
r = R_1 + R_2 = 0{,}50 + 0{,}60 = 1{,}10\\ \mathrm{m}, \qquad r^2 = (1{,}10)^2 = 1{,}21\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular as massas a partir da densidade: massa é densidade vezes volume. Volume de uma esfera é
V=\frac{4}{3}\pi R^3,
onde R é o raio. Então:
V_1=\frac{4}{3}\pi R_1^3=\frac{4}{3}\pi(0{,}50)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot0{,}125=0{,}166666\ldots\pi\\ \mathrm{m}^3,
V_2=\frac{4}{3}\pi R_2^3=\frac{4}{3}\pi(0{,}60)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot0{,}216=0{,}288\pi\\ \mathrm{m}^3.
Agora os volumes numéricos (usando \pi\approx3{,}14159265):
V_1 \approx 0{,}523598776\\ \mathrm{m}^3,\qquad V_2 \approx 0{,}904778684\\ \mathrm{m}^3.
Massas:
m_1=\rho V_1=11340\times0{,}523598776\approx5937{,}61\\ \mathrm{kg},
m_2=\rho V_2=11340\times0{,}904778684\approx10260{,}19\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular o produto m_1 m_2 e aplicar a lei de Newton:
m_1 m_2 \approx 5937{,}61\times10260{,}19 \approx 6{,}0921\times10^{7}\\ \mathrm{kg}^2.
Substituindo em
F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}
temos
F \approx 6{,}67\times10^{-11}\frac{6{,}0921\times10^{7}}{1{,}21}.
Fazendo as contas:
6{,}67\times10^{-11}\times6{,}0921\times10^{7}=4{,}0634\times10^{-3}
e dividindo por 1{,}21
F \approx 3{,}36\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação rápida: essa força é muito pequena (da ordem de mili-Newtons), por isso não sentimos atração gravitacional entre objetos mesmo relativamente pesados quando estão próximos.

Resposta

F \approx 3{,}36\times10^{-3}\\ \mathrm{N}

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