(3 pontos) Aletas de alumínio (
) com perfil triangular serão instaladas ao longo de uma superfície quadrada com 5 cm de lado. A espessura da base das aletas é 1 mm , e o seu comprimento 10 mm . O sistema se encontra à temperatura de
, e a superfície se encontra exposta a um coeficiente convectivo
. A temperatura da base é constante e igual a
.
(a) Calcule a taxa de transferência de calor na superfície na ausência das aletas.
(b) Estime o número mínimo de aletas necessário para se aumentar a taxa de transferência de calor em 10 vezes nas condições dadas.
(a) Calcule a taxa de transferência de calor na superfície na ausência das aletas.
(b) Estime o número mínimo de aletas necessário para se aumentar a taxa de transferência de calor em 10 vezes nas condições dadas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) calcular a taxa de transferência de calor da superfície quadrada sem aletas;
- (b) estimar o número mínimo de aletas triangulares necessárias para aumentar essa taxa em 10 vezes.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- lado do quadrado:
; - área total da superfície sem aletas:
; - temperatura da base (superfície):
; - temperatura do fluido:
; - coeficiente convectivo:
; - aletas de alumínio com condutividade
; - espessura da base da aleta (largura da base):
(1 mm); - comprimento (projeção radial) da aleta:
(10 mm); - as aletas têm perfil triangular e as fórmulas úteis fornecidas são:
- interpretação geométrica usada: as aletas percorrem toda a outra dimensão do quadrado; portanto o comprimento “no sentido da aresta” (comprimento da aleta no plano da placa) é
.
A diferença de temperatura é
A resolução começa a seguir.
Passo 2
(a) Taxa de transferência de calor sem aletas.
A equação de convecção simples dá:
Calcule
:
Logo
Faço a conta passo a passo:
Portanto, sem aletas a placa perde
.
Passo 3
(b) Estratégia para estimar o número mínimo de aletas.
Explicação didática do modelo que vou usar (passo a passo, sem pular etapas):
- Cada aleta contribui com uma taxa de calor
dada por: onde é a área total da superfície da aleta (ambos os lados) e é a eficiência da aleta que leva em conta a queda de temperatura ao longo da aleta. - A placa entre as aletas (área não ocupada pela base das aletas) contribui com convecção direta à temperatura da base (o enunciado diz que a temperatura da base é constante), ou seja:
onde é a área livre da placa quando há aletas (cada aleta ocupa na base uma área ). - A transferência total será:
- Objetivo: escolher
mínimo tal que
Vou agora calcular os termos numéricos:
,
,
,
, e montar
.
Passo 4
Cálculo de
.
Usando a fórmula fornecida:
Substituindo valores (mostrando unidades e contas):
Calculo de
:
E
.
Passo 5
Cálculo da eficiência
usando aproximação das funções de Bessel para argumento pequeno.
A fórmula é
Para
as séries de Bessel modificadas são (apenas para obter valores numéricos com precisão adequada):
-
, -
.
Calculo numérico (mostrando os termos principais):
Razão:
Finalmente:
Interpretação rápida: a eficiência da aleta é muito próxima de 1 porque as aletas são curtas e o alumínio tem condutividade alta — boa notícia: quase toda a aleta trabalha eficientemente.
Passo 6
Cálculo da área de superfície de uma aleta
.
Usando
Com
,
,
:
Passo 7
Cálculo da taxa de calor por aleta
.
Usando
Substituindo:
Faço as contas em etapas:
Portanto, cada aleta adiciona aproximadamente
.
Passo 8
Expressão para a transferência total
em função do número de aletas
.
A área total da placa é
. Cada aleta ocupa na base uma área
. A área livre entre as aletas é
O calor convectivo dessa área livre é
Calculo simplificado:
A contribuição das aletas é
.
Logo
Logo
Passo 9
Determinar
tal que
.
Resolvendo:
Como
deve ser inteiro e queremos o mínimo número inteiro de aletas que atinja (ou ultrapasse) o objetivo, tomamos
Passo 10
Observações finais rápidas (didáticas e intuitivas):
- Cada aleta dá quase
; como originalmente a placa dava , é razoável que dezenas de aletas sejam necessárias para multiplicar por 10. - A eficiência da aleta ficou muito próxima de 1 (
) porque as aletas são curtas e o alumínio tem alta condutividade — isso simplificou bastante os cálculos e autorizou usar com pequena correção. - A aproximação usada desconsidera interação complexa entre aletas (sombra térmica se espaçadas demais), mas para uma estimativa de projeto inicial e para a questão de prova esse modelo é o padrão e suficiente.
Resposta
(a)
(b)