(3 pontos) Aletas de alumínio ( k=240 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K}) ) com perfil triangular serão instaladas ao longo de uma superfície quadrada com 5 cm de lado. A espessura da base das aletas é 1 mm , e o seu comprimento 10 mm . O sistema se encontra à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}, e a superfície se encontra exposta a um coeficiente convectivo h=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. A temperatura da base é constante e igual a T=60^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Calcule a taxa de transferência de calor na superfície na ausência das aletas.
(b) Estime o número mínimo de aletas necessário para se aumentar a taxa de transferência de calor em 10 vezes nas condições dadas.
\begin{gathered} \frac{d^{2} T}{d x^{2}}+\frac{d^{2} T}{d y^{2}}+\frac{d^{2} T}{d z^{2}}+\frac{\dot{q}_{v}}{k}=0, \quad q_{x}^{\prime \prime}=-k \frac{d T}{d x}, \quad h \equiv \frac{q_{s}}{A_{s}\left(T_{s}-T_{\infty}\right)} \\\ \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\mu^{2} \varphi=0 \rightarrow \varphi(x)=C_{1} \cos \mu x+C_{2} \sin \mu x \\\ \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}-\mu^{2} \varphi=0 \rightarrow \varphi(x)=C_{1} e^{\mu x}+C_{2} e^{-\mu x} \\\ A_{a}=2 w\left[L^{2}+(t / 2)^{2}\right]^{1 / 2}, \quad A_{p}=(t / 2) L \\\ \eta_{a}=\frac{1}{m L} \frac{I_{1}(2 m L)}{I_{0}(2 m L)}, \quad m=\left(\frac{2 h}{k t}\right)^{1 / 2} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) calcular a taxa de transferência de calor da superfície quadrada sem aletas;
  • (b) estimar o número mínimo de aletas triangulares necessárias para aumentar essa taxa em 10 vezes.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • lado do quadrado: L_{\text{placa}}=0,05\\ \mathrm{m};
  • área total da superfície sem aletas: A_{\text{placa}}=L_{\text{placa}}^{2};
  • temperatura da base (superfície): T_{b}=60^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do fluido: T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C};
  • coeficiente convectivo: h=20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K};
  • aletas de alumínio com condutividade k=240\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\mathrm{K});
  • espessura da base da aleta (largura da base): t=0,001\\ \mathrm{m} (1 mm);
  • comprimento (projeção radial) da aleta: L=0,01\\ \mathrm{m} (10 mm);
  • as aletas têm perfil triangular e as fórmulas úteis fornecidas são: A_{a}=2 w\left[L^{2}+(t/2)^{2}\right]^{1/2},\qquad A_{p}=(t/2)L,
m=\left(\frac{2h}{kt}\right)^{1/2},\qquad \eta_{a}=\frac{1}{mL}\frac{I_{1}(2mL)}{I_{0}(2mL)}.
  • interpretação geométrica usada: as aletas percorrem toda a outra dimensão do quadrado; portanto o comprimento “no sentido da aresta” (comprimento da aleta no plano da placa) é w=L_{\text{placa}}=0,05\\ \mathrm{m}.
A diferença de temperatura é
\Delta T = T_{b}-T_{\infty}=60-20=40\\ \mathrm{K}.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

(a) Taxa de transferência de calor sem aletas.
A equação de convecção simples dá:
Q_{\text{sem aletas}} = h\,A_{\text{placa}}\,\Delta T.
Calcule A_{\text{placa}}:
A_{\text{placa}} = (0,05)^{2}=0,0025\\ \mathrm{m}^{2}.
Logo
Q_{\text{sem aletas}}=20\cdot 0,0025\cdot 40.
Faço a conta passo a passo:
20\cdot 0,0025 = 0,05,
0,05\cdot 40 = 2,0\\ \mathrm{W}.
Portanto, sem aletas a placa perde 2,0\\ \mathrm{W}.

Passo 3

(b) Estratégia para estimar o número mínimo de aletas.
Explicação didática do modelo que vou usar (passo a passo, sem pular etapas):
  • Cada aleta contribui com uma taxa de calor q_{\text{aleta}} dada por: q_{\text{aleta}}=\eta_{a}\,h\,A_{a}\,\Delta T,onde A_{a} é a área total da superfície da aleta (ambos os lados) e \eta_{a} é a eficiência da aleta que leva em conta a queda de temperatura ao longo da aleta.
  • A placa entre as aletas (área não ocupada pela base das aletas) contribui com convecção direta à temperatura da base (o enunciado diz que a temperatura da base é constante), ou seja: Q_{\text{entre}} = h\,A_{\text{entre}}\,\Delta T,onde A_{\text{entre}} = A_{\text{placa}} - N\,(t\,w) é a área livre da placa quando há N aletas (cada aleta ocupa na base uma área t\cdot w).
  • A transferência total será: Q_{\text{total}} = Q_{\text{entre}} + N\,q_{\text{aleta}}.
  • Objetivo: escolher N mínimo tal que Q_{\text{total}} \ge 10\,Q_{\text{sem aletas}} = 10\cdot 2{,}0 = 20{,}0\\ \mathrm{W}.
Vou agora calcular os termos numéricos: m, \eta_{a}, A_{a}, q_{\text{aleta}}, e montar Q_{\text{total}}(N).

Passo 4

Cálculo de m.
Usando a fórmula fornecida:
m=\left(\frac{2h}{k t}\right)^{1/2}.
Substituindo valores (mostrando unidades e contas):
m=\left(\frac{2\cdot 20}{240\cdot 0,001}\right)^{1/2} =\left(\frac{40}{0,24}\right)^{1/2} =\left(166{,}666\ldots\right)^{1/2}.
m\approx 12{,}9099\\ \mathrm{m}^{-1}.
Calculo de mL:
mL = 12{,}9099\cdot 0,01 \approx 0{,}129099.
E 2mL \approx 0{,}258198.

Passo 5

Cálculo da eficiência \eta_{a} usando aproximação das funções de Bessel para argumento pequeno.
A fórmula é
\eta_{a}=\frac{1}{mL}\frac{I_{1}(2mL)}{I_{0}(2mL)}.
Para x=2mL\approx 0{,}258198 as séries de Bessel modificadas são (apenas para obter valores numéricos com precisão adequada):
  • I_{0}(x)\approx 1+\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{x^{4}}{64}+\cdots,
  • I_{1}(x)\approx \dfrac{x}{2}+\dfrac{x^{3}}{16}+\dfrac{x^{5}}{384}+\cdots.
Calculo numérico (mostrando os termos principais):
x=0{,}258198,\quad x^{2}=0{,}0666667,\quad x^{3}=0{,}017213,\quad x^{4}=0{,}0044444,\quad x^{5}=0{,}001148.
I_{0}(x)\approx 1+\frac{0{,}0666667}{4}+\frac{0{,}0044444}{64} \approx 1+0{,}0166667+0{,}0000694\approx 1{,}0167361.
I_{1}(x)\approx \frac{0{,}258198}{2}+\frac{0{,}017213}{16}+\frac{0{,}001148}{384} \approx 0{,}129099+0{,}0010758+0{,}0000030\approx 0{,}1301778.
Razão:
\frac{I_{1}(x)}{I_{0}(x)}\approx\frac{0{,}1301778}{1{,}0167361}\approx 0{,}128074.
Finalmente:
\eta_{a}=\frac{1}{mL}\cdot 0{,}128074 =\frac{0{,}128074}{0{,}129099}\approx 0{,}99208.
Interpretação rápida: a eficiência da aleta é muito próxima de 1 porque as aletas são curtas e o alumínio tem condutividade alta — boa notícia: quase toda a aleta trabalha eficientemente.

Passo 6

Cálculo da área de superfície de uma aleta A_{a}.
Usando
A_{a}=2\,w\sqrt{L^{2}+(t/2)^{2}}.
Com w=0{,}05\\ \mathrm{m}, L=0{,}01\\ \mathrm{m}, t/2=0{,}0005\\ \mathrm{m}:
\sqrt{L^{2}+(t/2)^{2}}=\sqrt{0{,}0001+0{,}00000025}=\sqrt{0{,}00010025}\approx 0{,}01001249\\ \mathrm{m}.
A_{a}=2\cdot 0{,}05\cdot 0{,}01001249\approx 0{,}001001249\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 7

Cálculo da taxa de calor por aleta q_{\text{aleta}}.
Usando
q_{\text{aleta}}=\eta_{a}\,h\,A_{a}\,\Delta T.
Substituindo:
q_{\text{aleta}}\approx 0{,}99208\cdot 20\cdot 0{,}001001249\cdot 40.
Faço as contas em etapas:
20\cdot 0{,}001001249 = 0{,}02002498,
0{,}02002498\cdot 40 = 0{,}8009992,
q_{\text{aleta}}\approx 0{,}99208\cdot 0{,}8009992 \approx 0{,}79448\\ \mathrm{W}.
Portanto, cada aleta adiciona aproximadamente 0{,}794\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Expressão para a transferência total Q_{\text{total}} em função do número de aletas N.
A área total da placa é A_{\text{placa}}=0{,}0025\\ \mathrm{m}^{2}. Cada aleta ocupa na base uma área t\cdot w = 0{,}001\cdot 0{,}05 = 0{,}00005\\ \mathrm{m}^{2}. A área livre entre as aletas é
A_{\text{entre}} = A_{\text{placa}} - N\,(t\,w) = 0{,}0025 - N\cdot 0{,}00005.
O calor convectivo dessa área livre é
Q_{\text{entre}} = h\,A_{\text{entre}}\,\Delta T = 20\cdot(0{,}0025 - 0{,}00005N)\cdot 40.
Calculo simplificado:
20\cdot 40 = 800,
Q_{\text{entre}} = 800\cdot(0{,}0025 - 0{,}00005N) = 2{,}0 - 0{,}04N\\ \mathrm{(W)}.
A contribuição das aletas é N\cdot q_{\text{aleta}}\approx N\cdot 0{,}79448\\ \mathrm{W}.
Logo
Q_{\text{total}}(N) = 2{,}0 - 0{,}04N + 0{,}79448N = 2{,}0 + 0{,}75448N\\ \mathrm{(W)}.

Passo 9

Determinar N_{\min} tal que Q_{\text{total}}\ge 10\cdot Q_{\text{sem aletas}}=20{,}0\\ \mathrm{W}.
Resolvendo:
2{,}0 + 0{,}75448N \ge 20{,}0
0{,}75448N \ge 18{,}0
N \ge \frac{18{,}0}{0{,}75448}\approx 23{,}859.
Como N deve ser inteiro e queremos o mínimo número inteiro de aletas que atinja (ou ultrapasse) o objetivo, tomamos
N_{\min}=24.

Passo 10

Observações finais rápidas (didáticas e intuitivas):
  • Cada aleta dá quase 0{,}8\\ \mathrm{W}; como originalmente a placa dava 2{,}0\\ \mathrm{W}, é razoável que dezenas de aletas sejam necessárias para multiplicar por 10.
  • A eficiência da aleta ficou muito próxima de 1 ( \eta_{a}\approx 0{,}992) porque as aletas são curtas e o alumínio tem alta condutividade — isso simplificou bastante os cálculos e autorizou usar q_{\text{aleta}}\approx hA_{a}\Delta T com pequena correção.
  • A aproximação usada desconsidera interação complexa entre aletas (sombra térmica se espaçadas demais), mas para uma estimativa de projeto inicial e para a questão de prova esse modelo é o padrão e suficiente.

Resposta

(a) Q_{\text{sem aletas}}=2{,}0\\ \mathrm{W}
(b) N_{\min}=24

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