(3 pontos) Uma reação química homogênea ocorre em um determinado meio sólido com espessura \mathrm{L}=20 \mathrm{~mm} e condutividade térmica k_{s}=2,0 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K}). O meio é confinado entre duas chapas de ferro idênticas, com condutividade térmica \mathrm{k}=60 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K}) e espessura \delta=1 \mathrm{~mm}. As duas paredes são expostas a condições similares, estando em contato com um fluido com coeficiente convectivo h e temperatura T=600^{\circ}. A reação química é endotérmica, e o seu efeito térmico é modelado como uma taxa volumétrica não-uniforme de geração de calor, com \dot{q}_{v}(T)=-k_{0} T, sendo k_{0}=2 \times 10^{2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{-3} \mathrm{~K}^{-1}. Admitindo regime permanente e condução unidimensional em geometria plana, determine o valor mínimo de h para que a temperatura mínima do meio reacional seja de 300^{\circ} \mathrm{C}. (Despreze efeitos de radiação)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor mínimo do coeficiente convectivo h para que a temperatura mínima do meio reacional seja de 300{,}^\circ\mathrm{C}, em regime permanente, condução unidimensional e desprezando radiação.
Dados fornecidos:
  • Espessura do meio reacional (slab reacional): \;L=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do meio reacional: \;k_{s}=2{,}0\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K}).
  • Duas chapas de ferro idênticas, cada uma com:
    • condutividade \;k=60\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K}),
    • espessura \;\delta=1\\ \mathrm{mm}=0{,}001\\ \mathrm{m}.
  • As duas superfícies externas das chapas estão em contato com fluido a temperatura \;T_{\infty}=600{,}^\circ\mathrm{C} e coeficiente convectivo \;h (o mesmo nas duas faces).
  • Geração volumétrica (modelo): \;\dot{q}_{v}(T)=-k_{0}\,T com \;k_{0}=2\times10^{2}\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K}).
  • Condição buscada: temperatura mínima (no centro do slab reacional, por simetria) igual a \;T_{0}=300{,}^\circ\mathrm{C}.
Observações importantes do enunciado usadas adiante:
  • Problema simétrico em torno do centro do slab reacional (as duas faces idênticas e mesmas condições), então basta resolver meia-espessura do sistema (do centro até a face externa).
  • Coordenada x será tomada a partir do centro para fora, com x=0 no centro, x=L/2 na interface reator–chapa e x=L/2+\delta na superfície externa (contato com o fluido).

Passo 2

Equacionamento: escrever a equação diferencial da condução em regime permanente, 1D.
Para uma região com condutividade k e taxa volumétrica de geração \dot{q}_{v}(T), a equação de energia em regime permanente e 1D é
\frac{d}{dx}\!\left(k\,\frac{dT}{dx}\right)+\dot{q}_{v}(T)=0.
No meio reacional (espessura L, condutividade k_{s}) existe geração \dot{q}_{v}(T)=-k_{0}T. Portanto a equação naquele domínio é
k_{s}\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}}-k_{0}\,T=0.
No metal (capas de ferro, espessura \delta) não há geração, então a equação é
k\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0.
Vou resolver estas equações em meia-estrutura ( 0\le x\le L/2+\delta) usando condições:
  • Simetria no centro: \;dT/dx\big|_{x=0}=0.
  • Continuidade de temperatura e de fluxo na interface x=L/2.
  • Condição convectiva na superfície externa x=L/2+\delta: -k\,\dfrac{dT}{dx}\big|_{\text{surf}}=h\big(T_{\text{surf}}-T_{\infty}\big).

Passo 3

Resolver a equação no meio reacional.
Defina
\lambda^{2}=\frac{k_{0}}{k_{s}},\qquad\text{logo}\qquad \lambda=\sqrt{\frac{k_{0}}{k_{s}}}.
A equação fica
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}-\lambda^{2}T=0.
Solução geral (funções hiperbólicas):
T(x)=A\operatorname{cosh}(\lambda x)+B\operatorname{sinh}(\lambda x).
Pela condição de simetria no centro dT/dx(0)=0 temos B=0. Assim a solução no reator é
T_{\mathrm{r}}(x)=A\operatorname{cosh}(\lambda x).
O valor A é a temperatura central T_{0} (pois T(0)=A), então
T_{\mathrm{r}}(x)=T_{0}\operatorname{cosh}(\lambda x).

Passo 4

Resolver a equação na chapa metálica (região sem geração).
Na chapa vale k\,d^{2}T/dx^{2}=0, então a solução é linear:
T_{\mathrm{p}}(x)=C+D x,
onde C e D são constantes a determinar pelas condições de continuidade.
Na interface x=L/2 exige-se continuidade de temperatura:
T_{\mathrm{p}}(L/2)=T_{\mathrm{r}}(L/2)=T_{0}\operatorname{cosh}\!\big(\lambda L/2\big).
E continuidade de fluxo térmico (fluxo saindo do reator entrando na chapa):
- k_{s}\,\frac{dT_{\mathrm{r}}}{dx}\Big|_{x=L/2} = -k\,\frac{dT_{\mathrm{p}}}{dx}\Big|_{x=L/2}.
Derivada no reator: \;dT_{\mathrm{r}}/dx = T_{0}\lambda\operatorname{sinh}(\lambda x). Como dT_{\mathrm{p}}/dx=D (constante), a condição de fluxo dá
k_{s}\,T_{0}\lambda\operatorname{sinh}\!\big(\lambda L/2\big)=k\,D.
Logo
D=\frac{k_{s}}{k}\,T_{0}\,\lambda\operatorname{sinh}\!\big(\lambda L/2\big).
A constante C pode ser obtida usando T_{\mathrm{p}}(L/2)=C+D(L/2), portanto
C=T_{0}\operatorname{cosh}\!\big(\lambda L/2\big)-D\frac{L}{2}.
Mas não precisamos do C explicitamente para a condição convectiva se usarmos a forma T_{\mathrm{surf}}=T_{\mathrm{p}}(L/2+\delta)=T_{\mathrm{p}}(L/2)+D\delta. Assim
T_{\mathrm{surf}}=T_{0}\operatorname{cosh}\!\big(\lambda L/2\big)+D\,\delta.

Passo 5

Aplicar a condição convectiva na superfície externa x=L/2+\delta.
A condição de convecção escreve-se (fluxo condutivo na chapa igual ao fluxo convectivo para o fluido):
- k\,\frac{dT_{\mathrm{p}}}{dx}\Big|_{\text{surf}} = h\big(T_{\mathrm{surf}}-T_{\infty}\big).
Como \;dT_{\mathrm{p}}/dx=D, isto é
- k\,D = h\big(T_{\mathrm{surf}}-T_{\infty}\big).
Substituindo T_{\mathrm{surf}}=T_{0}\operatorname{cosh}(\lambda L/2)+D\delta obtemos
- k\,D = h\Big(T_{0}\operatorname{cosh}(\lambda L/2)+D\delta - T_{\infty}\Big).
Rearranjando para h:
h=\frac{-kD}{T_{0}\operatorname{cosh}(\lambda L/2)+D\delta - T_{\infty}} =\frac{kD}{T_{\infty}-T_{0}\operatorname{cosh}(\lambda L/2)-D\delta}.

Passo 6

Expressar D em termos dos parâmetros conhecidos e simplificar a expressão de h.
Lembrando
D=\frac{k_{s}}{k}\,T_{0}\,\lambda\operatorname{sinh}\!\big(\lambda L/2\big),
defina o coeficiente
\alpha=\frac{k_{s}}{k}\,\lambda\operatorname{sinh}\!\big(\lambda L/2\big),
de modo que D=\alpha T_{0}. Substituindo em h resulta
h=\frac{k\,\alpha T_{0}}{T_{\infty}-T_{0}\big(\operatorname{cosh}(\lambda L/2)+\alpha\delta\big)}.
Esta é a expressão geral (para meia-espessura, usando simetria) que nos dá h quando se fixa T_{0}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular h.
Primeiro calcule \lambda:
\lambda=\sqrt{\frac{k_{0}}{k_{s}}}=\sqrt{\frac{2\times10^{2}}{2{,}0}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{m}^{-1}.
Calcule a=\lambda L/2:
a=\lambda\frac{L}{2}=10\times\frac{0{,}02}{2}=10\times0{,}01=0{,}1.
Agora calcule \operatorname{sinh}(a) e \operatorname{cosh}(a). Para a=0{,}1 (pequeno), valores (com quatro casas relevantes):
\operatorname{sinh}(0{,}1)\approx0{,}10016675,\qquad \operatorname{cosh}(0{,}1)\approx1{,}00500417.
Calcule \alpha:
\alpha=\frac{k_{s}}{k}\,\lambda\operatorname{sinh}(a) =\frac{2{,}0}{60}\times10\times0{,}10016675 =\frac{1}{30}\times10\times0{,}10016675 =\frac{1}{3}\times0{,}10016675\approx0{,}0333889167.
Com T_{0}=300{,}^\circ\mathrm{C} temos
D=\alpha T_{0}\approx0{,}0333889167\times300\approx10{,}016675\\ \mathrm{K/m}.
Calcule T_{0}\operatorname{cosh}(a)+D\delta:
T_{0}\operatorname{cosh}(a)=300\times1{,}00500417\approx301{,}501251,
D\delta\approx10{,}016675\times0{,}001=0{,}010016675,
T_{\mathrm{surf}}=T_{0}\operatorname{cosh}(a)+D\delta\approx301{,}511267.
Finalmente calcular h pela fórmula
h=\frac{kD}{T_{\infty}-T_{\mathrm{surf}}} =\frac{60\times10{,}016675}{600-301{,}511267} =\frac{601{,}0005}{298{,}488733}\approx2{,}015046\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}).
Arredondando com significado prático (duas casas decimais):
h_{\min}\approx2{,}02\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}).

Passo 8

Interpretação e checagem rápida (sanidade): o valor de h é pequeno, o que faz sentido porque a temperatura do fluido é muito maior ( 600{,}^\circ\mathrm{C}) que o mínimo desejado ( 300{,}^\circ\mathrm{C}) — portanto não é necessária uma convecção forte para manter o centro a 300{,}^\circ\mathrm{C} dado que as camadas metálicas conduzem bem o calor até o centro e a geração interna é um termo de resfriamento proporcional à T relativamente fraco (observe que \lambda L/2 é pequeno, indicando variação suave no reator).

Resposta

h_{\min}=2{,}02\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\mathrm{K})

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