(3 pontos) Uma reação química homogênea ocorre em um determinado meio sólido com espessura \mathrm{L}=20 \mathrm{~mm} e condutividade térmica k_{s}=2,0 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K}). O meio é confinado entre duas chapas de ferro idênticas, com condutividade térmica \mathrm{k}=60 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K}) e espessura \delta=1 \mathrm{~mm}. As duas paredes são expostas a condições similares, estando em contato com um fluido com coeficiente convectivo h e temperatura T=600^{\circ}. A reação química é endotérmica, e o seu efeito térmico é modelado como uma taxa volumétrica não-uniforme de geração de calor, com \dot{q}_{v}(T)=-k_{0} T, sendo k_{0}=2 \times 10^{2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{-3} \mathrm{~K}^{-1}. Admitindo regime permanente e condução unidimensional em geometria plana, determine o valor mínimo de h para que a temperatura mínima do meio reacional seja de 300^{\circ} \mathrm{C}. (Despreze efeitos de radiação)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor mínimo do coeficiente convectivo h para que a temperatura mínima do meio reacional seja de 300{,}^\circ\mathrm{C}, em regime permanente, condução unidimensional e desprezando radiação.
Dados fornecidos:
Espessura do meio reacional (slab reacional): \;L=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
Condutividade térmica do meio reacional: \;k_{s}=2{,}0\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K}).
As duas superfícies externas das chapas estão em contato com fluido a temperatura \;T_{\infty}=600{,}^\circ\mathrm{C} e coeficiente convectivo \;h (o mesmo nas duas faces).
Geração volumétrica (modelo): \;\dot{q}_{v}(T)=-k_{0}\,T com \;k_{0}=2\times10^{2}\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K}).
Condição buscada: temperatura mínima (no centro do slab reacional, por simetria) igual a \;T_{0}=300{,}^\circ\mathrm{C}.
Observações importantes do enunciado usadas adiante:
Problema simétrico em torno do centro do slab reacional (as duas faces idênticas e mesmas condições), então basta resolver meia-espessura do sistema (do centro até a face externa).
Coordenada x será tomada a partir do centro para fora, com x=0 no centro, x=L/2 na interface reator–chapa e x=L/2+\delta na superfície externa (contato com o fluido).
Passo 2
Equacionamento: escrever a equação diferencial da condução em regime permanente, 1D.
Para uma região com condutividade k e taxa volumétrica de geração \dot{q}_{v}(T), a equação de energia em regime permanente e 1D é
Mas não precisamos do C explicitamente para a condição convectiva se usarmos a forma T_{\mathrm{surf}}=T_{\mathrm{p}}(L/2+\delta)=T_{\mathrm{p}}(L/2)+D\delta. Assim
Interpretação e checagem rápida (sanidade): o valor de h é pequeno, o que faz sentido porque a temperatura do fluido é muito maior (600{,}^\circ\mathrm{C}) que o mínimo desejado (300{,}^\circ\mathrm{C}) — portanto não é necessária uma convecção forte para manter o centro a 300{,}^\circ\mathrm{C} dado que as camadas metálicas conduzem bem o calor até o centro e a geração interna é um termo de resfriamento proporcional à T relativamente fraco (observe que \lambda L/2 é pequeno, indicando variação suave no reator).