1. ( 2,0 pontos) Quando se analisa uma rede social, frequentemente se deseja calcular uma medida de centralidade (às vezes chamada de medida de prestígio) de cada indivíduo. Uma dessas medidas, proposta por Katz , estabelece que o prestígio do indivíduo i, denotado por p_{i}, é uma soma ponderada do prestígio das pessoas com quem esse indivíduo está conectado. Especificamente, p_{i}=\sum_{j=1}^{n} g_{i j} p_{j}, onde 0<g_{i j} \leq 1, se os indivíduos i e j estão conectados e g_{i j}=0, caso contrário. Por convenção, g_{i i}=0. Expresse matricialmente o problema de cálculo de \mathbf{p}=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right). Qual condição deve ser satisfeita para que exista \mathbf{p} \neq \mathbf{0} ?
    2019

Passo 1

O enunciado define para cada indivíduo i de uma rede social o prestígio
p_i=\sum_{j=1}^{n}g_{ij}\,p_j,
onde a matriz G=(g_{ij}) tem entradas 0<g_{ij}\le1 se i está ligado a j e g_{ij}=0 caso contrário, com g_{ii}=0. O conteúdo principal é álgebra linear: escrever isso matricialmente e achar a condição para existir solução não trivial \mathbf p\neq\mathbf0.

Passo 2

Definindo o vetor coluna
\mathbf p=\begin{pmatrix}p_1\p_2\\vdots\p_n\end{pmatrix},
a relação p_i=\sum_{j=1}^n g_{ij}p_j para todo i se resume à equação matricial
\mathbf p = G\,\mathbf p.

Passo 3

Reescrevendo obtemos
(I - G)\,\mathbf p = \mathbf 0.
Isso é um sistema homogêneo de n equações lineares em n incógnitas.

Passo 4

Para que exista solução não trivial \mathbf p\neq\mathbf0, a matriz I-G deve ser singular, isto é,
\det\bigl(I - G\bigr)=0.
Equivalente a isso, o número 1 deve ser valor próprio de G.

Resposta

A formulação matricial é
\mathbf p = G\,\mathbf p,
e a condição para haver \mathbf p\neq\mathbf0 é
\det(I-G)=0\quad\text{(ou seja, 1 é autovalor de }G\text{).}é

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