- ( 2,0 pontos) Quando se analisa uma rede social, frequentemente se deseja calcular uma medida de centralidade (às vezes chamada de medida de prestígio) de cada indivíduo. Uma dessas medidas, proposta por Katz , estabelece que o prestígio do indivíduo
, denotado por
, é uma soma ponderada do prestígio das pessoas com quem esse indivíduo está conectado. Especificamente,
, onde
, se os indivíduos
e
estão conectados e
, caso contrário. Por convenção,
. Expresse matricialmente o problema de cálculo de
. Qual condição deve ser satisfeita para que exista
?
2019
2019
Passo 1
O enunciado define para cada indivíduo
de uma rede social o prestígio
onde a matriz
tem entradas
se
está ligado a
e
caso contrário, com
. O conteúdo principal é álgebra linear: escrever isso matricialmente e achar a condição para existir solução não trivial
.
Passo 2
Definindo o vetor coluna
a relação
para todo
se resume à equação matricial
Passo 3
Reescrevendo obtemos
Isso é um sistema homogêneo de
equações lineares em
incógnitas.
Passo 4
Para que exista solução não trivial
, a matriz
deve ser singular, isto é,
Equivalente a isso, o número
deve ser valor próprio de
.
Resposta
A formulação matricial é
e a condição para haver
é