1. (Questão Bônus: 2,0 pontos) Seja I a matriz identidade n \times n e U uma matriz n \times n de uns, ou seja, todos os elementos são iguais a 1. Prove que \operatorname{det}(I+U)=n+1.

Passo 1

O enunciado diz que I é a matriz identidade n\times n e U é a matriz n\times n cujos elementos são todos iguais a 1. Precisamos encontrar \det(I+U). Para isso vamos usar o lema do determinante em atualização de posto 1 (matrix determinant lemma).

Passo 2

Defina o vetor coluna \,e\in\mathbb{R}^n cujas entradas são todas iguais a 1. Então
U = e\,e^T
e o lema do determinante para uma matriz invertível A e vetores u,v afirma:
\det\bigl(A + u\,v^T\bigr) = \det(A)\,\bigl(1 + v^T A^{-1}u\bigr).
Tomando A = I, u = e e v = e, obtemos
\det(I + e\,e^T) = 1 + e^T e.

Passo 3

Basta calcular
e^T e = \sum_{i=1}^n 1 = n.
Logo
\det(I+U) = \det\bigl(I + e\,e^T\bigr) = 1 + n = n+1.

Resposta

\det(I+U) = n+1.

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