- ( 2,0 pontos) Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos seguintes vetores:
,
e
. Existem outros vetores unitários ortogonais a
e
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede um vetor unitário em
ortogonal aos três vetores
,
e
.
O conteúdo é resolver um sistema linear dado pelas condições de ortogonalidade (produtos escalares nulos) e depois normalizar o vetor solução.
O conteúdo é resolver um sistema linear dado pelas condições de ortogonalidade (produtos escalares nulos) e depois normalizar o vetor solução.
Passo 2
Seja
. As condições de ortogonalidade são
Passo 3
Da primeira equação vem
Substituindo na segunda:
Na terceira:
Passo 4
Com
temos
e
. Logo toda solução é
isto é, o espaço ortogonal a
é a reta gerada por
.
Passo 5
Para obter um vetor unitário, normalizamos
. Seu módulo é
Um vetor unitário ortogonal é então
Passo 6
Como o subespaço ortogonal é de dimensão 1, todos os vetores ortogonais são múltiplos de
. Para terem norma 1 só restam os sinais
e
. Portanto há exatamente dois vetores unitários ortogonais, que são
Resposta
Um vetor unitário ortogonal é
Existem outros? Sim: como a solução forma uma reta em
, os únicos vetores unitários ortogonais são