1. (2,0 pontos) Uma antena tipo dipolo hertziano, cujo comprimento é \lambda / 100, está localizado na origem e é alimentado por uma corrente de 0,25 \operatorname{sen}\left(10^{8} \mathrm{t}\right). Determine:
c) a potência média radiada pela antena,

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • A antena é um dipolo hertziano (dipolo muito curto) com comprimento l=\lambda/100.
  • A corrente que alimenta a antena é i(t)=0,25\sin\!\left(10^{8}t\right). Logo a amplitude da corrente é I_0=0,25\\ \text{A}.
  • O que o enunciado pede: a potência média radiada pela antena (potência total irradiada para todo o espaço).

Passo 2

Conceito e fórmula geral (aulas rápidas e didáticas):
  • Um dipolo hertziano é um dipolo elétrico muito curto em relação ao comprimento de onda ( l\ll\lambda). Para esse caso pode-se usar a expressão padrão do campo no campo distante (far field) e calcular a potência irradiada integrando o fluxo de Poynting sobre uma esfera.
  • Notação e constantes usadas:
    • I_0 = amplitude da corrente no dipolo (em ampères).
    • l = comprimento do dipolo (m).
    • \lambda = comprimento de onda (m).
    • k = número de onda, k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
    • \eta_0 = impedância do espaço livre (impendância intrínseca do vácuo), \eta_0\approx 120\pi\\ \Omega (aprox. 377\\ \Omega).
  • Fórmula do campo elétrico (fasor) no far field para um dipolo curto orientado ao longo do eixo z:
    E_\theta(r,\theta)=j\,\frac{\eta_0\,k\,I_0\,l}{4\pi r}\,\sin\theta\,e^{-jkr}.
    Esta fórmula já é padrão em teoria de antenas; ela mostra que o campo escala com I_0 l, com k e tem dependência angular \sin\theta.
  • Potência média por unidade de área (fluxo de Poynting médio) no far field:
    S_{r,\text{médio}}=\frac{1}{2}\frac{|E_\theta|^2}{\eta_0}.é
    Essa expressão vem de \langle \mathbf{E}\times\mathbf{H}\rangle para campos harmônicos, onde \mathbf{H}=\mathbf{E}/\eta_0 no far field.

Passo 3

Derivação da potência total radiada:
  • Primeiro escrevo o quadrado do módulo de E_\theta:
    |E_\theta|^2=\left(\frac{\eta_0 k I_0 l}{4\pi r}\right)^2\sin^2\theta.
  • A potência total irradiada é a integral do fluxo sobre uma superfície esférica de raio r:
    P_{\text{rad}}=\int_{\text{esfera}} S_{r,\text{médio}}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\frac{|E_\theta|^2}{\eta_0}\,r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.é
  • Substituindo |E_\theta|^2 e simplificando fatores de r:
    P_{\text{rad}} =\frac{1}{2\eta_0}\left(\frac{\eta_0 k I_0 l}{4\pi}\right)^2 \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
  • Calculo do integral angular. Primeiro a integral em \varphi 2\pi. A integral em \theta é
    \int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta=\frac{4}{3}.
    (Pode-se verificar por substituição u=\cos\theta ou usando identidades trigonométricas.)
  • Então o fator angular total é
    \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =2\pi\cdot\frac{4}{3}=\frac{8\pi}{3}.
  • Substituindo tudo em P_{\text{rad}}:
    P_{\text{rad}} =\frac{1}{2\eta_0}\left(\frac{\eta_0^2 k^2 I_0^2 l^2}{16\pi^2}\right)\cdot\frac{8\pi}{3}.
    Agora simplifico passo a passo:
    \frac{1}{2\eta_0}\cdot\eta_0^2=\frac{\eta_0}{2},
    então
    P_{\text{rad}}=\frac{\eta_0 k^2 I_0^2 l^2}{2}\cdot\frac{1}{16\pi^2}\cdot\frac{8\pi}{3} =\frac{\eta_0 k^2 I_0^2 l^2}{12\pi}.
  • Essa é a forma compacta da potência irradiada por um dipolo muito curto:
    \boxed{\,P_{\text{rad}}=\frac{\eta_0}{12\pi}\,k^2 I_0^2 l^2\,}.
  • Substituindo k=\dfrac{2\pi}{\lambda} obtemos uma forma em termos de l/\lambda:
    P_{\text{rad}}=\frac{\eta_0}{12\pi}\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2 I_0^2 l^2 =\frac{\pi\eta_0}{3}\,I_0^2\left(\frac{l}{\lambda}\right)^2.

Passo 4

Aplicando aos números do problema:
  • Dados numéricos (todos escritos em notação matemática):
    I_0=0,25\\ \text{A},\qquad \frac{l}{\lambda}=\frac{1}{100}=10^{-2},\qquad \eta_0=120\pi\\ \Omega.
  • Uso a forma
    P_{\text{rad}}=\frac{\pi\eta_0}{3}\,I_0^2\left(\frac{l}{\lambda}\right)^2.
  • Calculo passo a passo:
    I_0^2=(0,25)^2=0,0625,
\left(\frac{l}{\lambda}\right)^2=(10^{-2})^2=10^{-4},
\pi\eta_0=\pi\cdot(120\pi)=120\pi^2.
Assim
\frac{\pi\eta_0}{3}=\frac{120\pi^2}{3}=40\pi^2.
  • Portanto
    P_{\text{rad}}=40\pi^2\times 0,0625\times 10^{-4}.
  • Agora numérico:
    \pi^2\approx 9{,}8696\quad\Rightarrow\quad 40\pi^2\approx 394{,}784.
394{,}784\times 0,0625 =24{,}673999\ldots
24{,}673999\times 10^{-4}=0,0024673999\\ \text{W}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas significativas em mW): P_{\text{rad}}\approx 0,00247\\ \text{W}=2,47\\ \text{mW}.

Resposta

P_{\text{rad}}\approx 0,00247\\ \text{W}

Exercícios relacionados