- (2,0 pontos) Uma antena tipo dipolo hertziano, cujo comprimento é
, está localizado na origem e é alimentado por uma corrente de
. Determine:
c) a potência média radiada pela antena,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
- A antena é um dipolo hertziano (dipolo muito curto) com comprimento
. - A corrente que alimenta a antena é
. Logo a amplitude da corrente é . - O que o enunciado pede: a potência média radiada pela antena (potência total irradiada para todo o espaço).
Passo 2
Conceito e fórmula geral (aulas rápidas e didáticas):
-
Um dipolo hertziano é um dipolo elétrico muito curto em relação ao comprimento de onda (
). Para esse caso pode-se usar a expressão padrão do campo no campo distante (far field) e calcular a potência irradiada integrando o fluxo de Poynting sobre uma esfera. -
Notação e constantes usadas:
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= amplitude da corrente no dipolo (em ampères). -
= comprimento do dipolo (m). -
= comprimento de onda (m). -
= número de onda, . -
= impedância do espaço livre (impendância intrínseca do vácuo), (aprox. ).
-
-
Fórmula do campo elétrico (fasor) no far field para um dipolo curto orientado ao longo do eixo
: Esta fórmula já é padrão em teoria de antenas; ela mostra que o campo escala com, com e tem dependência angular . -
Potência média por unidade de área (fluxo de Poynting médio) no far field:Essa expressão vem de
para campos harmônicos, onde no far field.
Passo 3
Derivação da potência total radiada:
-
Primeiro escrevo o quadrado do módulo de
: -
A potência total irradiada é a integral do fluxo sobre uma superfície esférica de raio
: -
Substituindo
e simplificando fatores de : -
Calculo do integral angular. Primeiro a integral em
dá . A integral em é (Pode-se verificar por substituiçãoou usando identidades trigonométricas.) -
Então o fator angular total é
-
Substituindo tudo em
: Agora simplifico passo a passo:então -
Essa é a forma compacta da potência irradiada por um dipolo muito curto:
-
Substituindo
obtemos uma forma em termos de :
Passo 4
Aplicando aos números do problema:
-
Dados numéricos (todos escritos em notação matemática):
-
Uso a forma
-
Calculo passo a passo:
Assim
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Portanto
-
Agora numérico:
- Arredondando de forma razoável (duas casas significativas em mW):