- (2,0 pontos) Uma antena tipo dipolo hertziano, cujo comprimento é
, está localizado na origem e é alimentado por uma corrente de
. Determine:
a) a expressão para a intensidade de campo magnético em
,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma expressão para o campo magnético em um ponto específico:
- Comprimento do dipolo:
. - Corrente que alimenta o dipolo (função do tempo):
. Aqui a amplitude da corrente é e a pulsação é . - Ponto onde se quer o campo magnético:
e . - Pedido: a expressão para a intensidade do campo magnético (componente
, no caso de um dipolo orientado ao longo do eixo polar).
Passos seguintes vão derivar a fórmula apropriada, justificar aproximações e calcular os valores numéricos.
Passo 2
Modelo e fórmula a usar — explicação didática:
- Um dipolo “hertziano” (curto:
) tem campos eletromagnéticos conhecidos em forma fechada quando se assume uma corrente senoidal. - Para um dipolo muito curto, o termo de radiação (que decai como
) domina suficientemente bem quando se está na região onde aparecem ondas radiativas. A expressão fasorial (complexa) para a componente azimutal do campo magnético é, no sistema de coordenadas esféricas:
onde:
-
é o fasor da corrente, -
é o número de onda ( ), -
é o comprimento do dipolo, -
e fixam o ponto de observação, - a dependência
representa a fase de propagação. - Como
, escrevemos isso em termos de fasor usado para representação . Nota prática: , logo o fasor associado é . - Substituindo
na expressão de :
- Voltando ao domínio do tempo (tomando a parte real de
) obtemos a expressão real e prática:
Comentário sobre variáveis:
-
é a amplitude da corrente (em ampère), -
é a pulsação (rad/s), -
(rad/m) com velocidade da luz no vácuo ( ), -
em metros, em radianos (ou graus) e em .
Passo 3
Calcular
e
a partir de
:
A partir de
obtemos
:
Passo 4
Simplificar o fator
usando
:
Então
(Observe que o
cancela.)
Passo 5
Substituir
na expressão
:
Logo a expressão geral torna-se
Passo 6
Agora substituir os valores numéricos:
-
. -
. -
. -
. -
.
Calcular amplitude numérica:
Multiplicando por
:
Portanto a fase fixa é
e a dependência temporal é
.
Passo 7
Observação sobre a aproximação usada:
- Usei a expressão de radiação (termo proporcional a
) válida para um dipolo muito curto. Aqui justifica o modelo de dipolo hertziano. O ponto não é muito distante (é da ordem de décimos de ), portanto existem termos de near-field que não são absolutamente desprezíveis; porém, muitos exercícios pedem explicitamente a expressão de radiação (termo dominante) para um dipolo curto — foi essa expressão que derivei e usei. Se for necessário incluir termos reativos (1/r^2, 1/r^3), a fórmula seria mais longa; peça se quiser que eu desenvolva a expressão completa para todas as zonas.