1. (2,0 pontos) Uma antena tipo dipolo hertziano, cujo comprimento é \lambda / 100, está localizado na origem e é alimentado por uma corrente de 0,25 \operatorname{sen}\left(10^{8} \mathrm{t}\right). Determine:
a) a expressão para a intensidade de campo magnético em \mathrm{r}=\lambda / 5, \theta=30^{\circ},

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma expressão para o campo magnético em um ponto específico:
  • Comprimento do dipolo: l=\lambda/100.
  • Corrente que alimenta o dipolo (função do tempo): I(t)=0,25\operatorname{sen}\!\left(10^{8}t\right). Aqui a amplitude da corrente é I_0=0,25\\ \text{A} e a pulsação é \omega=10^{8}\\ \text{rad/s}.
  • Ponto onde se quer o campo magnético: r=\lambda/5 e \theta=30^\circ.
  • Pedido: a expressão para a intensidade do campo magnético (componente \varphi, no caso de um dipolo orientado ao longo do eixo polar).
Passos seguintes vão derivar a fórmula apropriada, justificar aproximações e calcular os valores numéricos.

Passo 2

Modelo e fórmula a usar — explicação didática:
  • Um dipolo “hertziano” (curto: l\ll\lambda) tem campos eletromagnéticos conhecidos em forma fechada quando se assume uma corrente senoidal.
  • Para um dipolo muito curto, o termo de radiação (que decai como 1/r) domina suficientemente bem quando se está na região onde aparecem ondas radiativas. A expressão fasorial (complexa) para a componente azimutal do campo magnético é, no sistema de coordenadas esféricas:
\tilde H_\varphi(r,\theta)=j\,\frac{k\,\tilde I\,l}{4\pi r}\,e^{-jkr}\sin\theta,
onde:
  • \tilde I é o fasor da corrente,
  • k é o número de onda ( k=\omega/c),
  • l é o comprimento do dipolo,
  • r e \theta fixam o ponto de observação,
  • a dependência e^{-jkr} representa a fase de propagação.
  • Como I(t)=I_0\operatorname{sen}(\omega t), escrevemos isso em termos de fasor usado para representação \Re\{\tilde I e^{j\omega t}\}. Nota prática: \operatorname{sen}(\omega t)=\Re\{-j e^{j\omega t}\}, logo o fasor associado é \tilde I=-j I_0.
  • Substituindo \tilde I=-j I_0 na expressão de \tilde H_\varphi:
\tilde H_\varphi(r,\theta) = j\frac{k(-j I_0)l}{4\pi r}e^{-jkr}\sin\theta = \frac{k I_0 l}{4\pi r}e^{-jkr}\sin\theta.
  • Voltando ao domínio do tempo (tomando a parte real de \tilde H_\varphi e^{j\omega t}) obtemos a expressão real e prática:
H_\varphi(r,\theta,t)=\frac{k I_0 l}{4\pi r}\sin\theta\cos\!\big(\omega t-kr\big).
Comentário sobre variáveis:
  • I_0 é a amplitude da corrente (em ampère),
  • \omega é a pulsação (rad/s),
  • k=\omega/c (rad/m) com c velocidade da luz no vácuo ( c\approx3\cdot10^{8}\\ \text{m/s}),
  • r em metros, \theta em radianos (ou graus) e H em \text{A/m}.

Passo 3

Calcular k e \lambda a partir de \omega:
k=\frac{\omega}{c}=\frac{10^{8}}{3\cdot10^{8}}=\frac{1}{3}\\ \text{rad/m}.
A partir de k obtemos \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}=2\pi\cdot 3=6\pi\\ \text{m}\approx 18{,}8496\\ \text{m}.

Passo 4

Simplificar o fator \dfrac{k I_0 l}{4\pi r} usando l=\lambda/100:
k l = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{100}=\frac{2\pi}{100}=\frac{\pi}{50}.
Então
\frac{k I_0 l}{4\pi r}=\frac{I_0}{4\pi r}\cdot\frac{\pi}{50}=\frac{I_0}{200\,r}.
(Observe que o \pi cancela.)

Passo 5

Substituir r=\lambda/5 na expressão \dfrac{I_0}{200\,r}:
\frac{I_0}{200\,r}=\frac{I_0}{200\cdot(\lambda/5)}=\frac{I_0}{40\,\lambda}.
Logo a expressão geral torna-se
H_\varphi\Big(r=\frac{\lambda}{5},\theta,t\Big)=\frac{I_0}{40\,\lambda}\sin\theta\cos\!\big(\omega t-kr\big).

Passo 6

Agora substituir os valores numéricos:
  • I_0=0,25\\ \text{A}.
  • \lambda=6\pi\\ \text{m}\approx 18{,}8496\\ \text{m}.
  • \theta=30^\circ\Rightarrow\sin\theta=\sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}.
  • k r = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{5}=\frac{2\pi}{5}.
  • \omega=10^{8}\\ \text{rad/s}.
Calcular amplitude numérica:
\frac{I_0}{40\lambda}=\frac{0,25}{40\cdot 18{,}8496}\approx 0{,}0003319\\ \text{A/m}.
Multiplicando por \sin\theta=\tfrac{1}{2}:
\frac{I_0}{40\lambda}\sin\theta\approx 0{,}0003319\cdot\frac{1}{2}=0{,}00016595\\ \text{A/m}\approx 1{,}66\times10^{-4}\\ \text{A/m}.
Portanto a fase fixa é kr=2\pi/5 e a dependência temporal é \cos(10^{8}t-2\pi/5).

Passo 7

Observação sobre a aproximação usada:
  • Usei a expressão de radiação (termo proporcional a 1/r) válida para um dipolo muito curto. Aqui l=\lambda/100 justifica o modelo de dipolo hertziano. O ponto r=\lambda/5 não é muito distante (é da ordem de décimos de \lambda), portanto existem termos de near-field que não são absolutamente desprezíveis; porém, muitos exercícios pedem explicitamente a expressão de radiação (termo dominante) para um dipolo curto — foi essa expressão que derivei e usei. Se for necessário incluir termos reativos (1/r^2, 1/r^3), a fórmula seria mais longa; peça se quiser que eu desenvolva a expressão completa para todas as zonas.

Resposta

H_\varphi\Big(r=\tfrac{\lambda}{5},\theta=30^\circ,t\Big)=1{,}66\times10^{-4}\cos\!\big(10^{8}t-\tfrac{2\pi}{5}\big)\\ \text{A/m}

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