Encontre o valor máximo e o valor mínimo que
pode ter em cada caso e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar o valor máximo que
pode assumir. - Encontrar o valor mínimo que
pode assumir.
Também pede que se esboce o gráfico da função.
Informações explícitas que temos do enunciado:
- A expressão é
. - O fator multiplicativo da função cosseno é
. - Há um termo constante adicionado igual a
.
Passo 2
Vamos entender uma propriedade básica do cosseno que vamos usar: o cosseno varia sempre entre
e
. Em forma matemática isso é
Explicação simples (intuitiva): no círculo trigonométrico a coordenada
de um ponto sobre o círculo unitário é
, então essa coordenada não pode passar de
nem de
. Isso vale para todo
.
Passo 3
Aplicando a transformação presente na função passo a passo:
- Multiplicar
por multiplica a faixa por . Logo
- Somar
desloca essa faixa verticalmente em unidades. Somando a cada termo do intervalo obtém-se
Fazendo as contas:
Portanto a imagem (o conjunto de valores possíveis) da função é o intervalo
.
Passo 4
Interpretação dos extremos: os extremos ocorrem quando
atinge seus extremos
ou
.
- Para
temos . Os que satisfazem são , com . - Para
temos . Os que satisfazem são , com .
Passo 5
Informações úteis para esboçar o gráfico (um período típico):
- A função é uma cosseno com amplitude
. - A reta média (midline) é
. - O período do
é , logo a função completa um ciclo em intervalo de comprimento .
Pontos chave ao longo de um período (úteis para desenhar):
Como esboçar: desenhe a reta horizontal
; marque 3 unidades acima e abaixo dessa reta para obter
e
; desenhe uma curva cosseno que passa pelos pontos acima (máximo em
, cruza a média em
, mínimo em
, etc.) e repita periodicamente.
Passo 6
Dica rápida para a prova: para funções da forma
, encontre primeiro o intervalo de
que é
, então multiplique por
(amplitude
) e some
(deslocamento vertical). Os máximos e mínimos são obtidos quando
atinge
ou
, respectivamente. Anote também o período
para posicionar os pontos-chave no esboço.
Resposta
Valor máximo:
em
.\n
Valor mínimo: em
.
Valor mínimo: