Encontre o valor máximo e o valor mínimo que \mathbf{y} pode ter em cada caso e esboce o gráfico.
y=3 \cos x+27

Passo 1

O enunciado dá a função y=3\cos x+27 e pede duas coisas:
  • Encontrar o valor máximo que y pode assumir.
  • Encontrar o valor mínimo que y pode assumir.
    Também pede que se esboce o gráfico da função.
Informações explícitas que temos do enunciado:
  • A expressão é y=3\cos x+27.
  • O fator multiplicativo da função cosseno é 3.
  • Há um termo constante adicionado igual a 27.

Passo 2

Vamos entender uma propriedade básica do cosseno que vamos usar: o cosseno varia sempre entre -1 e 1. Em forma matemática isso é
-1 \le \cos x \le 1.
Explicação simples (intuitiva): no círculo trigonométrico a coordenada x de um ponto sobre o círculo unitário é \cos x, então essa coordenada não pode passar de -1 nem de 1. Isso vale para todo x.

Passo 3

Aplicando a transformação presente na função passo a passo:
  1. Multiplicar \cos x por 3 multiplica a faixa [-1,1] por 3. Logo
-3 \le 3\cos x \le 3.
  1. Somar 27 desloca essa faixa verticalmente em 27 unidades. Somando 27 a cada termo do intervalo obtém-se
-3+27 \le 3\cos x +27 \le 3+27.
Fazendo as contas:
24 \le 3\cos x +27 \le 30.
Portanto a imagem (o conjunto de valores possíveis) da função é o intervalo [24,30].

Passo 4

Interpretação dos extremos: os extremos ocorrem quando \cos x atinge seus extremos -1 ou 1.
  • Para \cos x = 1 temos y=3\cdot 1 +27 = 30. Os x que satisfazem \cos x=1 são x=2k\pi, com k\in\mathbb{Z}.
  • Para \cos x = -1 temos y=3\cdot(-1)+27 = 24. Os x que satisfazem \cos x=-1 são x=(2k+1)\pi, com k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Informações úteis para esboçar o gráfico (um período típico):
  • A função é uma cosseno com amplitude |3|=3.
  • A reta média (midline) é y=27.
  • O período do \cos x é 2\pi, logo a função completa um ciclo em intervalo de comprimento 2\pi.
    Pontos chave ao longo de um período (úteis para desenhar):
\begin{aligned} x&=0:\quad &y&=30,\\\ x&=\tfrac{\pi}{2}:\quad &y&=27,\\\ x&=\pi:\quad &y&=24,\\\ x&=\tfrac{3\pi}{2}:\quad &y&=27,\\\ x&=2\pi:\quad &y&=30. \end{aligned}
Como esboçar: desenhe a reta horizontal y=27; marque 3 unidades acima e abaixo dessa reta para obter y=30 e y=24; desenhe uma curva cosseno que passa pelos pontos acima (máximo em x=0, cruza a média em x=\tfrac{\pi}{2}, mínimo em x=\pi, etc.) e repita periodicamente.

Passo 6

Dica rápida para a prova: para funções da forma y=A\cos(Bx+C)+D, encontre primeiro o intervalo de \cos que é [-1,1], então multiplique por A (amplitude |A|) e some D (deslocamento vertical). Os máximos e mínimos são obtidos quando \cos atinge 1 ou -1, respectivamente. Anote também o período \tfrac{2\pi}{|B|} para posicionar os pontos-chave no esboço.

Resposta

Valor máximo: 30 em x=2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.\n
Valor mínimo: 24 em x=(2k+1)\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.

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