(3 pontos) (a) Apresente a definição de variável aleatória com distribuição de Poisson e explique sua relação com a distribuição binomial.
(b) Num determinado trecho de 4 km da BR 060 em média ocorrem 4 acidentes fatais no mês de fevereiro. Qual a probabilidade de que no próximo mês de fevereiro não mais que 1 acidente fatal ocorra neste trecho?
(b) Num determinado trecho de 4 km da BR 060 em média ocorrem 4 acidentes fatais no mês de fevereiro. Qual a probabilidade de que no próximo mês de fevereiro não mais que 1 acidente fatal ocorra neste trecho?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes. Na parte a, a gente precisa definir o que é uma variável aleatória com distribuição de Poisson e mostrar como ela se relaciona com a distribuição binomial. Na parte b, temos um problema prático: num trecho de 4 km da BR 060, em média ocorrem 4 acidentes fatais no mês de fevereiro. Queremos saber a probabilidade de que no próximo mês não mais que 1 acidente fatal aconteça nesse trecho. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de teoria de probabilidades, especificamente as distribuições de Poisson e Binomial.
Passo 2
Parte a)
Uma variável aleatória é uma função que atribui um valor numérico a cada resultado possível de um experimento aleatório. Quando falamos que uma variável aleatória segue uma distribuição de Poisson, estamos dizendo que ela modela o número de ocorrências de um evento que acontece de forma aleatória e independente em um intervalo fixo de tempo ou espaço, sabendo que a taxa média de ocorrência é constante.
A distribuição de Poisson é especialmente útil quando os eventos são raros e independentes. A principal diferença entre a distribuição de Poisson e a distribuição binomial é que a binomial conta o número de sucessos em um número fixo de tentativas, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso, enquanto a Poisson é usada para contar eventos em um intervalo contínuo, sem um número fixo de tentativas. Na verdade, a distribuição de Poisson pode ser vista como um caso limite da distribuição binomial quando o número de tentativas é muito grande e a probabilidade de sucesso é muito pequena.
Passo 3
Parte b)
Vamos resolver o problema prático usando a distribuição de Poisson. Sabemos que a média (λ) de acidentes fatais no trecho é de 4 por mês. Queremos encontrar a probabilidade de ter no máximo 1 acidente em um mês.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos,
- $ \lambda $ é a média de ocorrências,
- $ e $ é a base do logaritmo natural,
- $ k! $ é o fatorial de k.
Como queremos a probabilidade de ter no máximo 1 acidente, precisamos calcular $ P(X = 0) $ e $ P(X = 1) $ e somar essas probabilidades.
Primeiro, calculamos $ P(X = 0) $:
Depois, calculamos $ P(X = 1) $:
Agora, somamos as duas probabilidades:
Calculando numericamente:
Resposta
A probabilidade de que no próximo mês de fevereiro ocorram no máximo 1 acidente fatal no trecho de 4 km da BR 060 é aproximadamente 9,16%.