(2,5 pontos) ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES E ENERGIA ARMAZENADA - Considere dois capacitores, C_{1} e C_{2}, ligados em paralelo. Eles são idênticos, exceto pelo fato de que C_{2} possui um dielétrico de constante dielétrica k entre suas placas (preenchendo todo seu volume). Uma fonte (bateria) de ddp igual a V alimenta esses capacitores em paralelo, os carrega totalmente e depois é desligada. a) Qual a capacitância C_{2} em termos de C_{1} ? Calcule b) a carga em cada capacitor e c) a energia total armazenada nos dois capacitores. d) Agora considere que o dielétrico seja totalmente removido do capacitor C_{2}. Calcule a energia total armazenada nos dois capacitores e compare-a com o resultado do item c), explicando fisicamente.

Passo 1

O enunciado trata de dois capacitores em paralelo, C_{1} e C_{2}, idênticos geometricamente, mas C_{2} tem um dielétrico de constante k. Eles são carregados pela bateria de diferença de potencial V até a carga máxima e, em seguida, a bateria é desligada. Vamos precisar de:
– A relação entre capacitância com e sem dielétrico;
– Fórmulas de carga Q=C\,V;
– Expressões para energia armazenada em capacitores isolados (sem bateria) e em paralelo.

Passo 2

Para um capacitor de mesma geometria, a presença de dielétrico de constante k aumenta sua capacitância em fator k. Logo, em termos de C_{1},
C_{2}=k\,C_{1}.

Passo 3

Enquanto a bateria está conectada, ambos têm a mesma ddp V. Portanto as cargas são
Q_{1}=C_{1}\,V,
Q_{2}=C_{2}\,V=(k\,C_{1})\,V=k\,C_{1}\,V.

Passo 4

Com a bateria ainda conectada, a energia total armazenada é
U=\tfrac12\,(C_{1}+C_{2})\,V^{2} =\tfrac12\,C_{1}(1+k)\,V^{2}.

Passo 5

Agora desligamos a bateria, mantendo os capacitores em paralelo. Se removemos o dielétrico de C_{2}, sua nova capacitância volta a ser C_{1}.
  • A carga total fixa é
Q_{\text{tot}}=Q_{1}+Q_{2}=(1+k)\,C_{1}\,V.
  • O novo equivalente em paralelo é
C_{\text{eq}}=C_{1}+C_{1}=2\,C_{1}.
  • A nova ddp comum passa a ser
V'=\frac{Q_{\text{tot}}}{C_{\text{eq}}} =\frac{(1+k)\,C_{1}\,V}{2\,C_{1}} =\frac{1+k}{2}\,V.
  • A energia após remoção do dielétrico é
U'=\tfrac12\,C_{\text{eq}}\,V'^{2} =\tfrac12\,(2\,C_{1})\Bigl(\frac{1+k}{2}\,V\Bigr)^{2} =C_{1}\,\frac{(1+k)^{2}}{4}\,V^{2}.

Passo 6

Comparemos U' com U:
U=\tfrac12\,C_{1}(1+k)\,V^{2}, \quad U'=C_{1}\,\frac{(1+k)^{2}}{4}\,V^{2}.
A razão é
\frac{U'}{U} =\frac{\frac{(1+k)^{2}}{4}}{\frac{1+k}{2}} =\frac{1+k}{2}>1\quad(\text{para }k>1).
Portanto U'>U. A explicação física é que, ao retirar o dielétrico com o circuito isolado, é preciso realizar trabalho mecânico para vencer a força de atração do dielétrico. Esse trabalho converte-se em energia elétrica extra armazenada.

Resposta

a) \;C_{2}=k\,C_{1}.
b) \;Q_{1}=C_{1}V,\quad Q_{2}=k\,C_{1}V.
c) \;U=\tfrac12\,C_{1}(1+k)\,V^{2}.
d) Após remover o dielétrico, \;U'=C_{1}\,\tfrac{(1+k)^{2}}{4}\,V^{2},
e observa-se U'>U porque o trabalho mecânico de retirada do dielétrico aumenta a energia elétrica armazenada.

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