Questão 04. (0,1 pt) Dada a função f(x)=x^{3}-9 x^{2}-48 x+52, determine:
a) (0,04 ponto) as coordenadas de máximo e mínimo local;
b) (0,04 ponto) os intervalos que são crescentes ou decrescentes;
c) (0,04 ponto) os intervalos que tem a concavidade para cima e para baixo;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-9x^{2}-48x+52
e pede:
– (a) coordenadas de máximo e mínimo local;
– (b) intervalos de crescimento e decréscimo;
– (c) intervalos de concavidade para cima e para baixo.
Para resolver, vamos usar a primeira derivada para pontos críticos e monotonicidade, e a segunda derivada para concavidade e classificação de extremos.

Passo 2

Calcular f'(x) e achar os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^3-9x^2-48x+52\bigr) =3x^2-18x-48.
Para encontrar os pontos onde f'(x)=0, resolvemos
3x^2-18x-48=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2-6x-16=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{6\pm\sqrt{36+64}}{2}=\frac{6\pm10}{2}.
Logo os pontos críticos são
x=-2 \quad\text{e}\quad x=8.

Passo 3

Classificar máximo e mínimo local usando a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^2-18x-48\bigr)=6x-18.
Avaliaremos em x=-2 e x=8:
f''(-2)=6(-2)-18=-12-18=-30<0 \quad\Longrightarrow\quad \text{máximo local em }x=-2,á
f''(8)=6\cdot8-18=48-18=30>0 \quad\Longrightarrow\quad \text{mínimo local em }x=8.í
As coordenadas exatas são
f(-2)=(-2)^3-9(-2)^2-48(-2)+52=-8-36+96+52=104,
f(8)=8^3-9\cdot8^2-48\cdot8+52=512-576-384+52=-396.
Portanto o máximo local é (-2,104) e o mínimo local é (8,-396).

Passo 4

Determinar intervalos de crescimento e decréscimo a partir do sinal de f'(x)=3x^2-18x-48. Como essa é uma parábola voltada para cima com raízes em -2 e 8, temos:
f'(x)>0 em (-\infty,-2) e em (8,\infty), logo f é crescente nesses intervalos;
f'(x)<0 em (-2,8), logo f é decrescente nesse intervalo.

Passo 5

Determinar concavidade a partir do sinal de f''(x)=6x-18:
f''(x)<0 para x<3, logo f é côncava para baixo em (-\infty,3);
f''(x)>0 para x>3, logo f é côncava para cima em (3,\infty).

Resposta

(a) Máximo local em (-2,104) e mínimo local em (8,-396).
(b) f é crescente em (-\infty,-2) e em (8,\infty); é decrescente em (-2,8).
(c) f é côncava para baixo em (-\infty,3) e côncava para cima em (3,\infty).

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