Questão 04. (0,1 pt) Dada a função
, determine:
a) (0,04 ponto) as coordenadas de máximo e mínimo local;
b) (0,04 ponto) os intervalos que são crescentes ou decrescentes;
c) (0,04 ponto) os intervalos que tem a concavidade para cima e para baixo;
a) (0,04 ponto) as coordenadas de máximo e mínimo local;
b) (0,04 ponto) os intervalos que são crescentes ou decrescentes;
c) (0,04 ponto) os intervalos que tem a concavidade para cima e para baixo;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– (a) coordenadas de máximo e mínimo local;
– (b) intervalos de crescimento e decréscimo;
– (c) intervalos de concavidade para cima e para baixo.
Para resolver, vamos usar a primeira derivada para pontos críticos e monotonicidade, e a segunda derivada para concavidade e classificação de extremos.
– (a) coordenadas de máximo e mínimo local;
– (b) intervalos de crescimento e decréscimo;
– (c) intervalos de concavidade para cima e para baixo.
Para resolver, vamos usar a primeira derivada para pontos críticos e monotonicidade, e a segunda derivada para concavidade e classificação de extremos.
Passo 2
Calcular
e achar os pontos críticos:
Para encontrar os pontos onde
, resolvemos
Logo os pontos críticos são
Passo 3
Classificar máximo e mínimo local usando a segunda derivada:
Avaliaremos em
e
:
As coordenadas exatas são
Portanto o máximo local é
e o mínimo local é
.
Passo 4
Determinar intervalos de crescimento e decréscimo a partir do sinal de
. Como essa é uma parábola voltada para cima com raízes em
e
, temos:
– em
e em
, logo
é crescente nesses intervalos;
– em
, logo
é decrescente nesse intervalo.
–
–
Passo 5
Determinar concavidade a partir do sinal de
:
– para
, logo
é côncava para baixo em
;
– para
, logo
é côncava para cima em
.
–
–
Resposta
(a) Máximo local em
e mínimo local em
.
(b) é crescente em
e em
; é decrescente em
.
(c) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
(b)
(c)