(2,0 pontos) POTENCIAL ELETROSTÁTICO - Considere uma casca esférica fina (espessura desprezível; figura Q2) de raio R e com carga Q distribuída uniformemente pela superficie. No centro desta casca há uma carga pontual de valor igual a q. a) Calcule a densidade superficial de carga \sigma. b) Calcule a diferença de potencial eletrostático entre um ponto localizado no infinito e outro no interior da casca situado em r=R / 4.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica fina de raio R que carrega carga total Q uniformemente na superfície, e uma carga pontual q no centro. Pedem:
– (a) a densidade superficial de carga \sigma na casca;
– (b) a diferença de potencial entre um ponto no infinito e outro dentro da casca em r=R/4.
Conteúdo: eletrostática, densidade superficial, potencial elétrico e princípio da superposição.

Passo 2

Para a densidade superficial usamos a definição
Q = \sigma \times (\text{área da casca}) = \sigma \,\bigl(4\pi R^{2}\bigr).á
Logo
\sigma = \frac{Q}{4\pi R^{2}}.

Passo 3

O potencial em r=R/4 vem da superposição de:
  1. potencial da casca (que é constante dentro e igual ao valor na superfície):
V_{\text{casca}} = k\,\frac{Q}{R},
  1. potencial da carga pontual no centro a uma distância r=R/4:
V_{q} = k\,\frac{q}{r} = k\,\frac{q}{R/4} = \frac{4\,k\,q}{R}.
Assim
V\bigl(R/4\bigr) = k\,\frac{Q}{R} + \frac{4\,k\,q}{R} = \frac{k}{R}\,\bigl(Q + 4q\bigr),
onde k = \tfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Adotando o potencial de referência V(\infty)=0, a diferença de potencial entre o infinito e r=R/4 é
\Delta V = V(\infty) - V\bigl(R/4\bigr) = 0 - \frac{k}{R}\,(Q + 4q) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q + 4q}{R}.

Resposta

(a) \displaystyle \sigma = \frac{Q}{4\pi R^{2}}.
(b) \displaystyle \Delta V = V(\infty)-V(R/4) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q + 4q}{R}.

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