Os pontos A e B pertencem ao gráfico das curvas \mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} e y=\ln \mathrm{x} respectivamente se A tem abscissa 1 e B tem ordenada 1 , podemos afirmar que a distância AB vale:
a) \sqrt{2}
b) 2 \sqrt{e}
c) \sqrt{2}(e-1)
d) \sqrt{2}(1-e)

Passo 1

O enunciado diz que A está no gráfico de y = e^x com abscissa 1 e que B está no gráfico de y = \ln x com ordenada 1. O que precisamos usar é
  1. A definição de abscissa e ordenada para encontrar as coordenadas de A e B.
  2. A fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

Passo 2

Para o ponto A, a abscissa é x=1 e ele está em y = e^x. Logo,
A = \bigl(1,\;e^1\bigr) = (1,e).

Passo 3

Para o ponto B, a ordenada é y=1 e ele está em y = \ln x. Então resolvemos
1 = \ln x \quad\Longrightarrow\quad x = e.
Logo,
B = (e,\,1).

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância entre A=(1,e) e B=(e,1):
AB = \sqrt{(e - 1)^2 + (1 - e)^2} = \sqrt{(e - 1)^2 + \bigl(- (e - 1)\bigr)^2} = \sqrt{2\,(e - 1)^2} = \sqrt{2}\,(e - 1).

Resposta

\sqrt{2}\,(e - 1), que corresponde à alternativa (c).

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