Se P e M são pontos de interseção dos gráficos de \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-3 e g(x)=\frac{x^{2}+x}{2}, então a medida do comprimento do segmento PM é:
a) 2 \sqrt{2}
b) 3 \sqrt{2}
c) 4 \sqrt{2}
d) 5 \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do segmento PM que liga os pontos de interseção dos gráficos de
f(x) = x^2 - 3
e
g(x) = \frac{x^2 + x}{2}.
Para resolver, precisamos:
  1. Encontrar os valores de x tais que f(x)=g(x).
  2. Determinar as coordenadas dos pontos de interseção P e M.
  3. Calcular a distância entre esses pontos usando a fórmula da distância no plano.

Passo 2

Igualamos as funções para achar as abscissas das interseções:
x^2 - 3 \;=\;\frac{x^2 + x}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2,
2x^2 - 6 = x^2 + x
x^2 - x - 6 = 0.
Resolvendo a equação quadrática pelo discriminante:
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25,
x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}.
Logo,
x_1 = \frac{1+5}{2}=3, \quad x_2 = \frac{1-5}{2}=-2.

Passo 3

Agora achamos as ordenadas substituindo em f(x) (poderia ser em g(x), pois são iguais nos pontos de interseção):
Para x_1=3:
y_1 = f(3) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6.
Para x_2=-2:
y_2 = f(-2) = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1.
Assim, os pontos são
P = (-2,\,1), \quad M = (3,\,6).

Passo 4

Usamos a fórmula da distância entre P=(x_2,y_2) e M=(x_1,y_1):
PM = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.

Resposta

5\sqrt{2}

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